>Типи функцій>Показникові функції з числом Ейлера

Показникові функції з числом Ейлера

Коли величина збiльшується або зменшується на однаковий вiдсоток у кожному перiодi, маємо експоненцiйне (вiдсоткове) зростання. Експоненцiальне зростання може бути вiд’ємним. Тодi графiк спадає праворуч, а не зростає до нескiнченностi, як у iншому випадку.

У показникових функцiях як основу можна використовувати довiльне число $b$ або число $e$ .

Теорiя

Показниковi функцiї

Показниковi функцiї можуть мати в основi число $e$ або довiльне число $b$ . У обох випадках $a$ буде константою. Функцiї мають такий вигляд:

f (x) = a \cdot e^{k x} f (x) = a \cdot b^{x}

Зверни увагу! Цi функцiї є переформульованими версiями одна одної, а отже, мають iдентичнi графiки $(b = e^{k})$ . Зверни увагу, що змiнна $x$ тепер знаходиться у показнику степеня! Символи $a$ , $b$ i $k$ є числами.

Якщо значення $a$ функцiї додатне, графiк буде схожим на один iз двох графiкiв, наведених нижче.

Правило

Графiк показникової функцiї

Графiки показникової функцiї, що зростає i спадає

$a$ — це значення $y$ для $x = 0$ , $b = e^{k}$ — це коефiцiєнт зростання.

$0 < b < 1$ графiк синього кольору, $b > 1$ графiк червоного кольору.

Зверни увагу! Очiкується, що ти зможеш виконати перетворення з $b = e^{k}$ i з $e^{k} = b$ .

Правило

Перетворення з $b = e^{k}$ i з $e^{k} = b$

\begin{array}{l} b^{x} & = {(e^{\ln b})}^{x} = e^{k x}, де k = \ln b \\ e^{k x} & = {(e^{k})}^{x} = b^{x}, де b = e^{k} \end{array}

Далi можна отримати уявлення про те, як поводиться функцiя для рiзних значень $a$ i $b > 0$ .

$a > 0$ i $b > 1$ :: графiк проходить уздовж осi $x$ i рiзко зростає вправо.
$a > 0$ i $0 < b < 1$ :: графiк рiзко спадає вправо i вирiвнюється вздовж осi $x$ .
$a \in ℝ$ i $b = 1$ :: графiк являє собою горизонтальну пряму, що проходить через $a$ .
$a < 0$ i $b > 1$ :: графiк проходить уздовж осi $x$ i рiзко спадає нижче осi $x$ .
$a < 0$ i $0 < b < 1$ :: графiк рiзко зростає i вирiвнюється вздовж осi $x$ .

Загалом

b > 1

дає фiксований вiдсоток зростання,

0 < b < 1

дає фiксований вiдсоток спаду, а

b = 1

не призводить до змiн. Число

b = e^{k}

дiє як коефiцiєнт зростання. Значення

a

впливає на знак значень функцiї.

Приклад 1

Маємо функцiю $f (x) = 3 \cdot 2^{x}$ . Ця функцiя перетинає вiсь $y$ у точцi $y = 3$ i зростає експоненцiйно. Ця форма зростання надзвичайно потужна, i згадки про цей графiк також часто використовуються в повсякденному мовленнi, наприклад, коли йдеться про подiю, яка повнiстю розгортається!

Приклад показникової функцiї, що зростає

Приклад 2

Маємо функцiю $f (x) = 3 \cdot 0 . 5^{x}$ . Вона перетинає вiсь $y$ у точцi $y = 3$ i спадає експоненцiйно. Ця форма спадання надзвичайно потужна, i згадки про цей графiк також часто використовуються в повсякденному мовленнi.

Приклад показникової функцiї, що спадає

Приклад 3

У певнiй хiмiчнiй реакцiї концентрацiя речовини задається функцiєю

f (t) = 2.50 - 2.50 \cdot e^{- 0.012 t},

де $t$ – це час, вимiряний у секундах, а $f (t)$ вимiрюється в mmol/л. Завдання:
1.
Якою буде концентрацiя через 15 секунд? Через скiльки часу концентрацiя дорiвнюватиме $2.00 mmol/л$ ?
2.
Побудуй графiк $f$ . До якого значення наблизиться концентрацiя, якщо реакцiя триватиме дуже довго?
3.
Яка швидкiсть реакцiї, якщо концентрацiя становить $2.00 mmol/л$ ?

1.

Щоб знайти концентрацiю через 15 секунд, потрiбно пiдставити

t = 15

у вираз

f (t)

. Отримаємо

\begin{array}{l} f (15) & = 2.50 - 2.50 \cdot e^{- 0.012 \cdot 15} \\ \approx 0.412 . \end{array}

\begin{array}{l} f (15) = 2.50 - 2.50 \cdot e^{- 0.012 \cdot 15} \approx 0.412 . \end{array}

Через 15 секунд концентрацiя становитиме

0.412

mmol/л.

Тепер потрiбно з’ясувати, через скiльки часу концентрацiя досягне $2.00$ mmol/л. Для цього потрiбно розв’язати рiвняння $f (t) = 2.00$ . Складаємо рiвняння i отримуємо

2.50 - 2.50 \cdot e^{- 0.012 t} = 2.00 .

Вiднiмаємо $2.50$ по обидва боки i отримуємо

- 2.50 \cdot e^{- 0.012 t} = - 0.50 .

Тодi дiлимо на $- 2.50$ ; рiвняння набуває вигляду

e^{- 0.012 t} = 0.2 .

Тепер маємо рiвняння у виглядi $e^{a} = b$ . Пiдставляємо по обидва боки $\ln$ i отримуємо

- 0.012 t = \ln 0.2 = - 1.61 .

Нарештi, дiлимо на $- 0.012$ i знаходимо розв’язок

t = \frac{- 1.61}{- 0.012} \approx 134 .

Це означає, що для досягнення концентрацiї $2.00$ mmol/л потрiбно 134 секунди.

2.

Спершу будуємо графiк

f

. Вiн має такий вигляд:

Приклад показникової функцiї, що спадає, з числом Ейлера

Щоб з’ясувати, до якого значення наближається концентрацiя, якщо реакцiя триває дуже довго, можна поглянути на графiк i визначити, що вона наближається до $2.50$ , або пiдставити достатньо велике значення $t$ i отримати $f (100 000) \approx 2.50$ . Це означає, що якщо реакцiя триває дуже довго, концентрацiя наближається до $2.50$ mmol/л. Iнший спосiб це показати – сказати, що $y = 2.5$ — це горизонтальна асимптота.

3.

Щоб знайти швидкiсть реакцiї, потрiбно диференцiювати функцiю реакцiї. Потрiбно обчислити

f^{'} (t)

. Скористаймося таким правилом:

{(e^{k x})}^{'} = k e^{k x} .

Використовуючи це правило, отримаємо

\begin{array}{l} f^{'} (t) & = {(2.50 - 2.50 \cdot e^{- 0.012 t})}^{'}, \\ = - 2.50 \cdot (- 0.012) \cdot e^{- 0.012 t}, \\ = 0.03 e^{- 0.012 t} . \end{array}

Отже, функцiя швидкостi реакцiї має вигляд

f^{'} (t) = 0.03 e^{- 0.012 t} .

Нам потрiбно знайти швидкiсть реакцiї, коли концентрацiя становить $2.00$ mmol/л. Як ми побачили з завдання 2, це вiдбувається, коли $t = 134$ , тож пiдставляємо 134 i отримуємо