Як аналізувати поліноміальні функції
Ось приклад аналiзу полiномiальної функцiї. Метод такий:
Правило
Аналiз полiномiальних функцiй
- 1.
- Знайди нулi функцiї.
- 2.
- Знайди стацiонарнi точки.
- 3.
- Знайди точки перегину.
Приклад 1
Проаналiзуй функцiю
- 1.
- Знайди нулi, задавши : оскiльки це полiномiальна функцiя 3-го степеня, не можна використовувати квадратичну функцiю для її безпосереднього розв’язання. Втiм, через те, що не має вiльного члена, можна розкласти на множники решту функцiї: Це означає, що точка є нулем. Потiм можна застосувати квадратичну формулу до , щоб знайти iншi нулi:
Отже, or . Тобто, нулями є точки , i .
- 2.
- Знайди максимуми та мiнiмуми, задавши .
Знайди похiдну вiд :
Тодi застосуй квадратичну формулу, щоб знайти максимуми й мiнiмуми :
Отже, або .
Щоб знайти точки, потрiбно знайти вiдповiднi значення . Знаходимо їх, пiдставивши свої значення назад у основну функцiю :
Тепер потрiбно визначити, яка точка є максимумом, а яка мiнiмумом. Для цього будуємо дiаграму знакiв. Зверни увагу, що похiдну можна розкласти на множники:
Звiдси видно, що максимум знаходиться в iнтервалi , а мiнiмум — в iнтервалi .
- 3.
- Знайди точки перегину, задавши .
Спочатку знаходимо другу похiдну вiд , продиференцiювавши :
Припускаємо, що , i розв’язуємо рiвняння:
Пiдставляємо це значення у початкову функцiю , щоб знайти координату точки перегину:
Отже, точка перегину — .
Створивши дiаграму знакiв для другої похiдної, можна побачити, в якiй точцi графiк є угнутим, а в якiй — опуклим. Зверни увагу, що можна розкласти на множники так:
