Що таке функції в математиці?

Функцiя показує зв’язок мiж змiнними. За своїм принципом дiї вона нагадує машину. У неї щось вкладаєш i щось отримуєш на виходi. Уяви хлiбопiчку. Якщо всипати пшеничне борошно дрiбного помелу, то вийде батон. Якщо всипати житнє борошно, отримаєш житнiй хлiб. Рiзниця мiж функцiєю та хлiбопiчкою полягає в тому, що у функцiю ми вкладаємо числа, а не борошно.

Два приклади функцiй: $y=x+2$ i $f(x)=x^2-2$. Функцiя $y$ — це пряма лiнiя (Рисунок (б)), а $f(x)$ — графiк (Рисунок (г) нижче). Як можна помiтити з двох функцiй у цьому роздiлi, одна починається з $y$, а iнша з $f(x)$ (читається як «$f$ вiд $x$»). Чому? Функцiї можуть мати рiзнi назви. Серед найпоширенiших — $y$ та $f(x)$. Обидвi назви свiдчать, що це значення з другої осi.

Позначення $f(x)$ говорить нам, що в нас є функцiя, яка залежить вiд значення $x$. Тобто ти вкладаєш числа з осi $x$ у функцiю, а на виходi отримуєш число на осi $y$. Оскiльки $f(x)$ дає значення $y$, то можна вважати їх рiвними, тож $y=f(x)$. Отже, функцiя отримує значення i повертає значення. Можна пiдставити у функцiю багато значень $x$, а значення $y$ прямо залежатимуть вiд значень $x$. Тому ми називаємо значення $x$ незалежною змiнною а значення $y$ — залежною змiнною.

Вище зображено чотири фiгури. Рисунки (б) i (г) мiстять графiки, якi є функцiями. З малюнкiв видно, що кожне значення $x$ має лише одне вiдповiдне значення $y$. На Рисунки (а) i (в) бачимо, що значенню $x$ вiдповiдає декiлька значень $y$. Отже, тут маємо справу не з функцiями. На Рисунок (а) значенню $x$ вiдповiдає два значення $y$, а на Рисунок (в) значенню $x$ вiдповiдає чотири значення $y$. Фiгури цього типу називаємо кривими.