Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як скласти діаграму знаків похідних функції

Дiаграми знакiв можна використовувати для аналiзу поведiнки функцiї. Вони допомагають знайти максимуми, мiнiмуми та сiдловi точки. Тут важливо стежити за процесом. Нам потрiбно сказати щось про функцiю f(x) на основi її похiдної f′(x). Зробити це можна так:

Правило

Складання дiаграми знакiв похiдної

  • Знайди похiдну вiд f(x). Накресли дiаграму знакiв диференцiйованої функцiї f′(x). Потрiбно з’ясувати, в яких точках ця функцiя знаходиться вище i нижче осi x.

  • Познач значення x, якi дають додатнi значення y (суцiльна лiнiя), i тi, якi дають вiд’ємнi значення y (пунктирна лiнiя).

Правило

Зв’язок мiж f(x) i f′(x)

Виявляється, є чiткий зв’язок мiж f(x) i f′(x):

  • Якщо f′(x) додатна (лежить вище осi x), f(x) зростає.

  • Якщо f′(x) вiд’ємна (лежить нижче осi x), f(x) спадає.

  • Якщо f′(x) дорiвнює нулю (лежить на осi x), f(x) має максимум, мiнiмум або сiдлову точку.

Правило

Визначення стацiонарних точок

1.
Якщо нуль функцiї f′(x) лежить мiж двома суцiльними лiнiями або мiж двома пунктирними лiнiями, то f(x) має сiдлову точку. Див. Рисунок (а).
2.
Якщо лiворуч вiд нуля є суцiльна лiнiя, а праворуч — пунктирна, то f перед точкою зростає, а пiсля точки спадає. Це означає, що точка є максимумом, див. Рисунок (б).
3.
Якщо лiворуч вiд нуля є пунктирна лiнiя, а праворуч — суцiльна, то f перед точкою спадає, а пiсля точки зростає. Це означає, що точка є мiнiмумом, див. Рисунок (в).

Сiдлова точка функцiї, що зростає

(а)

Максимум функцiї

(б)

Мiнiмум функцiї

(в)

Приклад 1

Дано кубiчну функцiю f(x) = −2 3x3 − x2 + 4x. Знайди максимум i мiнiмум f(x).

1.
Спершу знаходимо похiдну вiд f(x):
f′(x) = −2x2 − 2x + 4
2.
Можна розкласти цей вираз на множники за формулою
ax2 + bx + c = a(x − x 1)(x − x2),

де x1 i x2 є розв’язками ax2 + bx + c = 0. Це означає, що розкладений на множники вираз для знаходження похiдної має вигляд

f′(x) = −2 (x2 + x − 2) = −2(x + 2)(x − 1).
3.
Тодi дiаграма знакiв має такий вигляд:

Приклад дiаграми знакiв похiдної

4.
Тепер потрiбно з’ясувати, якi точки є максимумами, а якi – мiнiмумами. Згiдно з дiаграмою знакiв, функцiя спадає до x = −2, дещо зростає до x = 1 i знову спадає. Це означає, що x = −2 – це мiнiмум, а x = 1 – максимум.

Тепер потрiбно знайти вiдповiднi значення y. Для цього просто пiдставляємо знайденi значення x у функцiю

f(x) = −2 3x3 + x2 + 4x.

Отримуємо:

Мiнiмальна точка:

(xmin ⁡ ,f(xmin ⁡ )) = (−2,f(−2)) = (2−,−20 3 ) ,

тому що

f(−2) = −2 3(−2)3 − (−2)2 + 4(−2) = 16 3 + 4 − 8 = 16 − 12 − 24 3 = −20 3 .

Максимальна точка:

(xmax ⁡ ,f(xmax ⁡ )) = (1,f(1)) = (1, 7 3) ,

тому що

f(1) = −2 3(1)3 − (1)2 + 4(1) = −2 3 − 1 + 4 = −2 3 −3 3 + 12 3 = 7 3.

Приклад графiка, складеного на основi дiаграми знакiв

Цей рисунок узгоджується з результатами наших розрахункiв. Мiнiмум лежить у точцi (−2,−20 3 ), а максимум — у точцi (1, 7 3 ). Як бачимо, графiк спадає, доки не досягне мiнiмуму, тому що похiдна функцiї вiд’ємна, а її дiаграма знакiв має вигляд пунктирної лiнiї. Мiж мiнiмумом i максимумом графiк зростає, тому що похiдна функцiї додатна, а її дiаграма знакiв має вигляд суцiльної лiнiї. Вiд максимуму й далi графiк знову спадає, тому що похiдна функцiї вiд’ємна, а її дiаграма знакiв має вигляд пунктирної лiнiї.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як диференціювати функції за допомогою правила частки
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Диференціювання відстані для отримання швидкості та прискорення
Повернутися