>Доведення>Що таке доведення протиставленням?

Що таке доведення протиставленням?

Доведення протиставленням ґрунтується на тому фактi, що $p \Rightarrow q$ означає достеменно те саме, що й $(не q) \Rightarrow (не p)$ . Це легше побачити на прикладi:

Приклад 1

Якщо йшов дощ, то земля мокра.

Це твердження

p \Rightarrow q,

де $p =$ «йшов дощ», а $q =$ «земля мокра». Тодi твердження

(не q) \Rightarrow (не p)

буде таким:

Якщо земля не мокра, значить, дощу не було.

Бачимо, що цi два речення логiчно виражають те саме, але двома рiзними способами. (Iнакше кажучи: вони еквiвалентнi.) В обидвох йдеться, що не може одночасно йти дощ i земля не може бути не мокрою.

Теорiя

Протиставлення

$(не q) \Rightarrow (не p)$ є протиставленням логiчного наслiдку $p \Rightarrow q$ .

Повiльно прочитай абзац:

p \Rightarrow q

та

(не q) \Rightarrow (не p)

еквiвалентнi. Це означає, що якщо зможемо довести, що

(не q) \Rightarrow (не p)

, то також буде доведено, що

p \Rightarrow q

. Це корисно, тому що iнколи легше довести, що

(не q) \Rightarrow (не p)

, нiж

p \Rightarrow q

Теорiя

Доведення протиставленням

Щоб довести, що

p \Rightarrow q

, достатньо довести, що

(не q) \Rightarrow (не p) .

Отже, з $(не q)$ слiдує $(не p)$ .

Використовуючи метод доведення протиставленням, потрiбно скласти логiчний ланцюжок. Починаємо з

(не q)

. Iз твердження

(не q)

має слiдувати щось, iз чого знов-таки слiдує щось iнше, й так далi, доки в кiнцевому пiдсумку не отримаємо

(не p)

, де

(не p)

— це те, що, як ми мали довести, слiдує з

(не q)

Приклад 2

Розгляньмо цей метод доведення на прикладi родинних зв’язкiв Девiда Бекхема та Бруклiна Бекхема:

З того, що Бруклiн — син Девiда, слiдує, що Девiд — батько Бруклiна.

p \Rightarrow q

Можна переписати це твердження й стверджувати щось, що, як i ранiше, правильне за логiкою (ми знаємо, що це неiнформативно):

З того, що Девiд — не батько Бруклiна, слiдує, що Бруклiн — не син Девiда.

$(не q) \Rightarrow (не p)$

Твердження правильне за логiкою, тому що, якби Девiд не був батьком Бруклiна, то й Бруклiн не був би сином Девiда.

Приклад 3

Доведи, що квадратний корiнь iз iррацiонального числа є iррацiональним числом.

У цьому завданнi треба показати, що якщо число $a$ є iррацiональним, то число $\sqrt{a}$ також iррацiональне. Треба показати логiчний наслiдок. Наслiдок, який потрiбно продемонструвати, це $p \Rightarrow q$ , де $p =$ « $a$ iррацiональне число», а $q =$ « $\sqrt{a}$ рацiональне число». Протиставленням є $(не q) \Rightarrow (не p)$ , або, iнакше кажучи,

$\sqrt{a}$ — не iррацiональне число $\Rightarrow a$ — не iррацiональне число

Оскiльки «не iррацiональне число» — це те саме, що сказати, що його «можна записати у виглядi дробу», можна почати з логiчного наслiдку « $\sqrt{a}$ можна записати у виглядi дробу», а потiм спробувати показати, що $a$ можна записати у виглядi дробу. Якщо ми зможемо це зробити, доведення буде завершене.

Запиши свiй логiчний наслiдок як рiвняння $\sqrt{a} = \frac{p}{q}$ . Треба показати, що $a$ є дробом, пiсля чого пiднести до квадрата обидва боки. Тодi ми отримаємо $a$ по один бiк й дрiб по iнший бiк. Це означає, що ми показали, що $a$ не є iррацiональним числом. Це те саме, що й протиставлення $(не p)$ . Ми показали, що

(не q) \Rightarrow (не p) .

Математично можна записати мiркування таким чином: Припустiмо, що

\begin{matrix} \sqrt{a} = \frac{p}{q}, \\ де p та q – цiлi числа . \end{matrix}

\sqrt{a} = \frac{p}{q}, де p та q – цiлi числа .

Добудьмо квадратний корiнь по обидва боки та отримаймо

a = \frac{p^{2}}{q^{2}} .

Це показує, що $a$ можна записати у виглядi дробу, тому $a$ не є iррацiональним числом. Ми показали, що

\begin{matrix} \sqrt{a} не є iррацiональним числом \\ ⇓ \\ \sqrt{a} = \frac{p}{q} \\ ⇓ \\ a = \frac{p^{2}}{q^{2}} \\ ⇓ \\ a не є iррацiональним числом, \end{matrix}

що є протиставленням того, що ми хотiли показати, а саме, якщо $a$ — iррацiональне число, то $\sqrt{a}$ має бути iррацiональним числом, що й треба було довести.

Q.E.D

Причина, через яку доведення протиставленням часто використовується, коли ми виконуємо доведення з iррацiональними числами, полягає в тому, що замiсть того, щоб працювати з такими твердженнями, як « $a$ — iррацiональне число», можна працювати з такими твердженнями, як « $a$ — не iррацiональне число». З ними набагато простiше мати справу, тому що числа, яке не є iррацiональними, можна зобразити у виглядi дробу.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке пряме доведення?

Наступна стаття

Що таке метод математичної індукції?

Повернутися