>Доведення>Що таке метод математичної індукції?

Що таке метод математичної індукції?

Метод математичної iндукцiї — це метод доведення, застосовуючи який ми намагаємося вивести якесь загальне твердження з вужчого. Використовуючи метод математичної iндукцiї, починаємо з припущення, що щось справджується для певного значення. Потiм треба показати, що якщо це припущення справджується для певного значення, то воно має бути правильним й для наступного значення. Якщо це припущення справджується для довiльного значення, воно має правильним для всiх значень.

Ось три кроки, якi дуже корисно виконати, використовуючи метод математичної iндукцiї:

Правило

Доведення методом математичної iндукцiї

1.: Перевiр, чи твердження справджується для першого значення $n$ .
2.: Припусти, що твердження справджується для $n = k$ , так що $\dots$
3.: Потiм потрiбно показати, що твердження справджується для $n = k + 1$ , так що $\dots$

Зверни увагу! Ключ до методу математичної iндукцiї полягає в тому, щоб пiдставити наше припущення з Пункт 2 в Пункт 3. Це є основним моментом у доведеннi методом математичної iндукцiї!

Приклад 1

Застосування iндукцiї до числового ряду

Доведи, що $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

1.: Перевiрмо, чи це твердження справджується для першого значення $n$ , пiдставивши його у вираз $2 n - 1$ : $\begin{array}{l} 1 & = 1^{2} & ✓ \end{array}$
2.: Припустiмо, що це твердження справджується для $n = k$ , так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи $n$ на $k$ )

1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}

(1)

3.: Потрiбно показати, що це справджується для $n = k + 1$ , так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи $n$ на $k + 1$ . Пам’ятай про круглi дужки!)

1 + \dots + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = {(k + 1)}^{2}

(2)

1 + 3 + \dots + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = {(k + 1)}^{2}

(3)

4.: Переходимо до розрахункової частини доведення. Почнемо з лiвої частини (3) й продовжимо з використанням припущення (1). Подивись уважно на те, що вiдбувається нижче! Нарештi ми отримаємо те, що знаходиться в правiй частинi рiвностi в (3).
Тепер треба використати припущення, щоб записати гарний вираз для перших членiв $k$ :

\begin{array}{l} \underset{Пiдставмо вираз iз (1)}{\underset{⏟}{1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1)}} + (2 (k + 1) - 1) \\ = k^{2} + (2 (k + 1) - 1) \\ = k^{2} + 2 k + 1 \\ = {(k + 1)}^{2} . \end{array}

\begin{array}{l} \underset{Пiдставмо вираз iз (1)}{\underset{⏟}{1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1)}} + (2 (k + 1) - 1) & = k^{2} + (2 (k + 1) - 1) \\ = k^{2} + 2 k + 1 \\ = {(k + 1)}^{2}, \\ що й треба було довести. \end{array}

Q.E.D

Приклад 2

Застосування iндукцiї до подiльностi

Доведи, що $n^{2} - n$ n дiлиться на 2.

Якщо число дiлиться на 2, його можна розкласти на множник 2. Iнакше кажучи, таке число можна записати як $n^{2} - n = 2 t$ , де $t$ – це цiле число.

1.: Перевiрмо, чи це твердження справджується для першого значення $n$ , пiдставивши у вираз $n^{2} - n$ : $\begin{array}{l} 1^{2} - 1 = 0 & = 2 \cdot 0 & ✓ \end{array}$
2.: Припустiмо, що це твердження справджується для $n = k$ , так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи $n$ на $k$ )

k^{2} - k = 2 t

(4)

3.: Потрiбно показати, що це справджується для $n = k + 1$ , так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи $n$ на $k + 1$ . Пам’ятай про круглi дужки!)

(5)

4.

Переходимо до розрахункової частини доведення. Почнемо з лiвої частини (5) й продовжимо пiдставляючи припущення (4). Подивись уважно на те, що вiдбувається нижче! Нарештi ми отримаємо те, що знаходиться в правiй частинi рiвностi в (5).

Тепер, використавши припущення, $n = k + 1$ дасть нам:

\begin{array}{l} {(k + 1)}^{2} - (k + 1) & = \underset{Перекладемо члени мiсцями, щоб використати (4)}{\underset{⏟}{k^{2} + 2 k + 1 - k - 1}} \\ = \underset{Використовуючи (4), отримаємо}{\underset{⏟}{k^{2} - k}} + 2 k \\ = 2 u + 2 k \\ = 2 (u + k) \\ = 2 t, де t = u + k, \\ що й треба було довести. \end{array}

Q.E.D

Приклад 3

Застосування iндукцiї до похiдних

Нехай $f (x) = e^{2 x}$ . Доведи, що $f^{(n)} = 2^{n} e^{2 x}$ .

Тут

f^{(n)}

означає, що функцiя

f

диференцiйована

n

разiв.

1.: Перевiрмо, чи це твердження справджується для першого значення $n$ , оцiнивши вираз $f^{(n)} = 2^{n} e^{2 x}$ : $\begin{array}{l} f^{(1)} (x) = 2 e^{2 x} & = 2^{1} e^{2 x} & ✓ \end{array}$
2.: Припустiмо, що це твердження справджується для $n = k$ , так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи $n$ на $k$ ).

f^{(k)} (x) = 2^{k} e^{2 x}

(6)

3.: Потрiбно показати, що з цього витiкає, що твердження справджується для $n = k + 1$ , так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи $n$ на $k + 1$ . Пам’ятай про круглi дужки!)

f^{(k + 1)} (x) = 2^{k + 1} e^{2 x}

(7)

4.

Переходимо до розрахункової частини доведення. Почнемо з лiвої частини (7) й продовжимо пiдставляючи припущення (6). Подивись уважно на те, що вiдбувається нижче! Нарештi ми отримаємо те, що знаходиться в правiй частинi рiвностi в (7).

Тепер потрiбно використати припущення, щоб записати $f^{(k + 1)} (x)$ як ${(f^{(k)} (x))}^{'}$ : $\begin{array}{l} f^{(k + 1)} (x) & = \underset{Пiдставимо (6)}{\underset{⏟}{{(f^{(k)} (x))}^{'}}} \\ = {(2^{k} e^{2 x})}^{'} \\ = 2 \cdot 2^{k} e^{2 x} \\ = 2^{k + 1} e^{2 x}, \\ що й треба було довести. \end{array}$

Q.E.D

Попередня стаття

Що таке доведення протиставленням?

Наступна стаття

Доведення теореми Піфагора

Повернутися