>Вступ>Що таке формула Ейлера для комплексних чисел?

Що таке формула Ейлера для комплексних чисел?

Оскiльки ми вже познайомилися з нормою $r$ та аргументом $𝜃$ , всi комплекснi числа $z = a + b i$ можна записати у виглядi

z = r (\cos 𝜃 + i \sin 𝜃) .

Цей вираз використовується для перезаписування комплексних чисел шляхом переведення їх iз тригонометричної форми запису в алгебраїчну форму запису.

Комплексне число, зображене у виглядi прямокутного трикутника.

Якщо записати комплекснi числа у цiй формi, можна визначити показнику форму комплексного числа, яку часто називають формулою Ейлера.

Теорiя

Формула Ейлера

Для комплексного числа $z$ iз нормою $r$ та аргументом $𝜃$ показникова форма запису визначається так:

z = r e^{i 𝜃} = r (\cos 𝜃 + i \sin 𝜃) .

Для записування комплексного числа у показниковiй формi аргумент числа $z$ зазначають у показнику степеня разом з уявною одиницею $i$ , а норму числа $z$ множать на показникову функцiю. Формула Ейлера — це важлива зв’язувальна ланка мiж показовою функцiєю та тригонометричними функцiями.

Приклад 1

Перепиши число $z = e^{i π}$ в алгебраїчнiй формi

Норма $r$ комплексного числа $z$ — це число попереду показникової функцiї. Для $z$ маємо $r = 1$ . Аргумент $𝜃$ комплексного числа $z$ – це число, яке стоїть разом з $i$ у показнику степеня. Для $z$ маємо $𝜃 = π$ . Якщо скористатися формулою Ейлера, можна записати комплексне число $z$ в алгебраїчнiй формi $z = a + b i$ , де

\begin{array}{l} a & = r \cos 𝜃 = \cos π = - 1, \\ b & = r \sin 𝜃 = \sin π = 0 . \end{array}

Це означає, що $z = e^{i π} = - 1$ .

Результат, який показав Приклад 1, часто називають тотожнiстю Ейлера. Ця вiдома тотожнiсть пов’язує

π

i

e

та

- 1

. Показникова форма запису комплексних чисел — це компактний спосiб подати комплексне число

z

. Формулу Ейлера можна використовувати для подання комплексних чисел в тригонометричнiй формi. Оскiльки всi комплекснi числа можна записати в тригонометричнiй формi, всi комплекснi числа також можна записати в показниковiй формi.

Приклад 2

Запиши $z = \sqrt{3} - i$ в тригонометричнiй формi, використовуючи формулу Ейлера

Щоб скористатися формулою Ейлера, нам потрiбна норма та аргумент $z$ . Щоб знайти норму комплексного числа $z$ , послугуємося теоремою Пiфагора:

\begin{array}{l} r & = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}} \\ = \sqrt{3 + 1} \\ = 2 . \end{array}

Потiм можна знайти аргумент комплексного числа $z$ за допомогою косинуса:

\begin{matrix} 𝜃 = \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ ⇓ \\ 𝜃 = \frac{π}{6} or 𝜃 = \frac{11 π}{6} . \end{matrix}

Оскiльки дiйсна частина $z$ додатна, а уявна частина $z$ вiд’ємна, $z$ лежить у четвертому квадрантi комплексної площини. Отже, аргумент комплексного числа $z$ дорiвнює $𝜃 = \frac{11 π}{6}$ . Тепер, коли нам вiдома норма та аргумент $z$ , можна записати $z$ у показниковiй формi:

z = r e^{i 𝜃} = 2 e^{\frac{11 π}{6} i} .

Коли ми виконуємо обчислення з показниковою функцiєю з комплексним показником, можна послугуватися правилами пiднесення до степеня:

Правило

Показова функцiя з комплексним показником

Для кожного комплексного числа $z = a + b i$ експонента дорiвнює

\begin{array}{l} e^{z} & = e^{a + b i} \\ = e^{a} \cdot e^{b i} \\ = e^{a} (\cos b + i \sin b) . \end{array}

e^{z} = e^{a + b i} = e^{a} \cdot e^{b i} = e^{a} (\cos b + i \sin b) .

Коли ми пiдносимо $e$ до степеня, що є комплексним числом $z = a + b i$ , ми отримуємо нове комплексне число з нормою $e^{a}$ та аргументом $b$ .

Приклад 3

Знайди $w = e^{z}$ для комплексного числа $z = 3 + i π$

Знаходимо $w$ , використовуючи правило показникової функцiї з комплексним показником:

\begin{array}{l} w & = e^{z} \\ = e^{3 + i π} \\ = e^{3} \cdot e^{i π} \\ = e^{3} \cdot (- 1) \\ = - e^{3} . \end{array}

w = e^{z} = e^{3 + i π} = e^{3} \cdot e^{i π} = e^{3} \cdot (- 1) = - e^{3} .

Тут тотожнiсть Ейлера використовується для переписування

e^{i π} = - 1

Помiркуй

Попри те що тригонометрична та алгебраїчна форми запису комплексних чисел є еквiвалентними способами запису того самого числа

z

, цi два методи подання комплексних чисел мають рiзнi переваги та недолiки. Додавати та вiднiмати комплекснi числа простiше, якщо числа записанi в алгебраїчнiй формi. Множити й дiлити комплекснi числа простiше, якщо числа записанi в тригонометричнiй формi. Тому дуже важливо опанувати обидва методи подання комплексних чисел i вмiти перемикатися мiж ними залежно вiд того, який метод запису годиться найкраще.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке норма та аргумент комплексного числа?

Наступна стаття

Що таке комплексно-спряжені числа?

Повернутися