>Правила теорії ймовірності>Ланцюгове правило для умовних імовірностей

Ланцюгове правило для умовних імовірностей

Ланцюгове правило застосовується у разi багатократних випробувань. Це означає, що декiлька подiй мають iти одна за одною. У цьому випадку потрiбно помножити ймовiрнiсть першої подiї на ймовiрнiсть другої подiї. Важливо звертати увагу на те, чи є подiї незалежними одна вiд одної, чи нi.

Правило

Ланцюгове правило для незалежних подiй

Якщо $A$ i $B$ — це незалежнi подiї, отримуємо

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) .

Приклад 1

У математицi народження дитини певної статi вважається незалежною подiєю. $P (хлопчик) = 0.514$ i $P (дiвчинка) = 0.486$ . Родина хоче мати четверо дiтей. Яка ймовiрнiсть того, що спочатку в них народиться два хлопчики, а потiм двi дiвчинки?

У цьому випадку не має значення порядок народження кожної дитини — важливо лише те, що першими народилося два хлопчики, а потiм двi дiвчинки. Уся подiя має вигляд «хлопчик, хлопчик, дiвчинка, дiвчинка». Її можна записати у виглядi $B B G G$ . Виконуємо розрахунок

\begin{array}{l} P (B B G G) & = P (B) \cdot P (B) \cdot P (G) \cdot P (G) \\ = P {(B)}^{2} \cdot P {(G)}^{2} \\ = 0.51 4^{2} \cdot 0.48 6^{2} \\ = 0.0624 . \end{array}

Iмовiрнiсть того, що спочатку народиться два хлопчики, а потiм двi дiвчинки, складає $6.24$ %.

Правило

Ланцюгове правило для залежних подiй

Якщо подiї $A$ i $B$ є взаємозалежними, то отримуємо

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) .

Приклад 2

У пачцi драже є 4 червоних, 5 зелених i 7 жовтих цукерок драже. Тобi потрiбно дiстати з пачки три цукерки i з’їсти їх. Яка ймовiрнiсть того, що ти дiстанеш жовтi цукерки?

Загалом у пачцi $4 + 5 + 7 = 16$ цукерок драже. Якщо з’їсти одну жовту цукерку, у пачцi залишиться лише одна жовта цукерка (6), i загальна кiлькiсть цукерок драже скоротиться на одну (15). Отже, кiлькiсть цукерок драже у пачцi зменшується з кожною з’їденою цукеркою. Отже, розрахунок має вигляд

\begin{array}{l} P (3 жовтих) & = P (перша жовта) \\ \cdot P (друга жовта) \\ \cdot P (третя жовта) \\ = \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \\ = 0.0625 . \end{array}

\begin{array}{l} P (3 жовтих) & = P (перша жовта) \cdot P (друга жовта) \\ \cdot P (третя жовта) \\ = \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \\ = 0.0625 . \end{array}

Iмовiрнiсть того, що ти з’їси три жовтих цукерки драже поспiль, не обуривши своїх товаришiв тим, що виплюнеш з’їденi цукерки назад до пачки, складає

6.25

%. Щоб це з’ясувати, потрiбно розрахувати ймовiрнiсть того, що ти тричi дiстанеш iз пачки жовтi цукерки, щоразу отримавши рiзнi числа та вiдповiдi.

Цiлком зрозумiло, що простiше з’ясувати вiдповiдь, якщо подiї незалежнi одна вiд одної.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке умовна ймовірність?

Наступна стаття

Що таке деревні діаграми в математиці?

Повернутися