Перестановки (впорядкований відбір без заміни)
Впорядкована множина — це множина, в якiй має значення порядок елементiв. Без замiни означає, що той самий елемент не можна вибрати бiльше нiж один раз.
Теорiя
Перестановки
Якщо ми вiдбираємо елементiв iз множини з елементiв, то кiлькiсть можливих варiантiв упорядкування називається перестановками.
Зверни увагу! Значення має порядок вiдiбраних елементiв!
Приклад 1
У естафетi беруть участь 15 команд.
- 1.
- Скiльки є варiантiв розподiлу трьох призових мiсць?
- 2.
- Мессi, Бейл i Рональдо бiжать за рiзнi команди. Яка ймовiрнiсть того, що виграє команда Бейла, команда Мессi прийде другою, а команда Рональдо третьою?
- 1.
- Важливо, яке мiсце ти посядеш — перше, друге чи третє, тож порядок має значення. Це означає, що можна обрати рiзнi способи розподiлу мiсць у виглядi перестановок. Розрахунок має такий вигляд:
Отже, є 2730 способи розподiлити три призових мiсця, якщо в естафетi беруть участь 15 команд.
- 2.
- Пiсля розподiлу мiсць «Бейл, Мессi та Рональдо» стає однiєю подiєю з-помiж можливих варiантiв. Отримуємо:
Приклад 2
До учнiвської ради потрiбно обрати 4 учнiв iз групи з 31 людини: одного президента, одного вiце-президента, одного секретаря та одного скарбника.
- 1.
- Скiльки рад можна утворити, якщо враховувати, хто яку посаду обiймає?
- 2.
- У групi присутнiй Ел Ґор. Яка ймовiрнiсть того, що його виберуть до учнiвської ради?
- 1.
- Оскiльки має значення, хто обiймає рiзнi посади, то можна розглядати це як випадок, у якому порядок має значення. Це означає, що кожна обрана учнiвська рада є перестановкою. З-помiж 31 учня можна обрати президента, з-помiж 30 — вiце-президента, i так далi. Через те, що ми обираємо 4 членiв ради з групи людей, кiлькiсть варiантiв рад розраховуємо так:
Це означає, що потенцiйно можна обрати рiзних учнiвських рад.
- 2.
- Через те, що Ел Ґор належить до групи з 31 учнiв, i ти припускаєш, що iснує однакова можливiсть того, що виберуть будь-кого, отримуємо таке:
