>Подібні фігури>Як знайти відношення подібності фігур?

Як знайти відношення подібності фігур?

Вiдношення кажуть нам про взаємозв’язки мiж двома об’єктами. Коли ми маємо справу з вiдношеннями, то повиннi знати, якi сторони спiввiдносяться в рiзних геометричних фiгурах. Такi сторони називаються вiдповiдними сторонами. Вiдношення тiсно пов’язанi з подiбнiстю, тому що ми використовуємо вiдношення, щоб перевiрити, чи подiбнi двi фiгури, або коли ми маємо справу з подiбнiстю загалом.

Теорiя

Вiдповiднi сторони

Вiдповiднi сторони — це сторони, якi представляють ту саму сторону в подiбних фiгурах. Символом вiдповiдних сторiн є $≃$ . Вiдношення двох вiдповiдних сторiн називається числом лiнiйного вiдношення $n$ .

Приклад 1

Довiльний трикутник $△ A B C$ має сторони завдовжки $A B = 2$ , $B C = 4$ та $C A = 5$ . Трикутник $△ D E F$ має сторони завдовжки $D E = 4$ , $E F = 8$ та $F D = 9$ . Чи є трикутник $△ A B C$ подiбним до $△ D E F$ ?

Щоб побачити сторони, доцiльно накреслити рисунок.

Рисунок:

Вiдношення двох трикутникiв

Зараз обчислимо вiдношення мiж усiма вiдповiдними сторонами. Якщо всi вiдношення рiвнi, то трикутники подiбнi:

\begin{array}{l} \frac{A B}{D E} & = \frac{2}{4} = 0.5 \\ \frac{B C}{E F} & = \frac{4}{8} = 0.5 \\ \frac{C A}{D F} & = \frac{5}{9} = 0.56 \end{array}

Тут вiдношення рiзнi, й, отже, трикутники не подiбнi.

Теорiя

Вiдношення довжин

Вiдношення довжин двох вiдповiдних сторiн $a$ та $b$ є числом лiнiйного вiдношення.

n = \frac{a}{b}

Зверни увагу! Що стоїть першим у реченнi, те i йде в чисельник! (Можна було також назвати число лiнiйного вiдношення лiтерою $p$ або $q$ ).

Приклад 2

Знайди вiдношення 12 до 24.

Оскiльки число 12 стоїть першим у реченнi, воно йде в чисельник. Тодi розрахунок такий:

ratio = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0.5 .

Теорiя

Вiдношення площ

Вiдношення площ двох подiбних фiгур дорiвнює квадрату числа лiнiйного вiдношення,

n^{2}

тобто

{(\frac{a}{b})}^{2} .

Приклад 3

Знайди вiдношення площ подiбних трикутникiв $△ A B C$ та $△ D E F$ . У трикутника $△ A B C$ $A B = 4$ , $B C = 5$ та $C A = 3$ . У трикутника $△ D E F$ $D E = 8$ , $E F = 10$ та $F D = 6$ .

Є два методи розрахунку вiдношення площ. Можна використати простий метод, описаний у наведенiй вище вставцi, або складний метод, за яким спершу обчислюємо площ, а потiм розраховуємо вiдношення. Ти маєш знати обидва методи.

Метод 1

Знайди вiдношення, роздiливши двi вiдповiднi сторони. Можна обрати пару сторiн за бажанням:

n = \frac{A B}{D E} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .

Пiднесемо $n$ до квадрата й знайдемо вiдношення площ:

\begin{array}{l} вiдношення площ & = n^{2} \\ = {(\frac{1}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{4} \\ = 0.25 . \end{array}

Метод 2

Спершу обчислимо площу кожного трикутника. Якщо маєш набите око, ти побачиш, що трикутники прямокутнi, й тому можна безпосередньо використати формулу площi трикутника. Якщо ти цього не бачиш, треба спочатку з’ясувати, чи трикутники є прямокутними, або потрiбно провести допомiжну лiнiю й виконати декiлька обчислень, щоб знайти площу.

У цьому завданнi нам вiдомо, що вони прямокутнi, й тому обчислюємо площу безпосередньо.

\begin{array}{l} A_{△ A B C} & = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \\ A_{△ D E F} & = \frac{8 \cdot 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 \end{array}

Пiсля цього знаходимо вiдношення розв’язкiв:

Вiдношення площ = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Яке визначення подібних фігур?

Повернутися