Як застосовувати графічний метод для лінійної оптимізації

Пункт 1

Спершу задаємо обмеження в текстi завдання у виглядi нерiвностей. Нехай $x$ — це кiлькiсть вироблених чоловiчих сорочок, а $y$ — кiлькiсть вироблених спiдниць. Кашемiр та шовк потрiбно розподiлити мiж сорочками та спiдницями. Отримуємо такi нерiвностi:

• Кiлькiсть сорочок, якi ми виробляємо, може становити 0 сорочок i бiльше. Отже,

  $$x\ge 0.$$

• Кiлькiсть спiдниць, якi ми виробляємо, може становити 0 спiдниць i бiльше. Отже,

  $$y\ge 0.$$

• Тепер складаємо нерiвнiсть для наявного кашемiру. На сорочку йде два вiдрiзи, а на спiдницю — один. Один рулон загалом вмiщує $200$ вiдрiзiв. Отримуємо

  $$2x+y\le 200.$$

• Потiм складаємо нерiвнiсть для наявного шовку. На сорочку йде один вiдрiз, а на спiдницю — три. Один рулон вмiщує $300$ вiдрiзiв шовку. Отримуємо

  $$x+3y\le 300.$$

У кiнцевому пiдсумку маємо систему нерiвностей:

Пункт 2

Тепер потрiбно розв’язати нерiвностi щодо $y$. Спочатку розв’язуємо нерiвнiсть (3):

Нерiвнiсть (4):

З iншими двома нерiвностями нiчого робити не потрiбно.

Пункт  3 i 4

Зобразимо двi нерiвностi у виглядi графiкiв у системi координат i позначимо область, у якiй вони перетинаються. Як вiдомо, нас цiкавить лише перший квадрант, оскiльки i $x$, i $y$ бiльшi або дорiвнюють 0. Отримуємо таку фiгуру:

Пункт  5 i 6

Знаходимо для цiєї фiгури оптимальну точку. Як ми знаємо, це одна з точок у межах позначеної областi, в якiй графiки перетинаються мiж собою або перетинають осi. Якщо використовується метод пiдстановки, потрiбно знайти всi точки перетину. Як бачимо з графiка,

• Точка $A$ — це точка, в якiй $x+3y=300$ перетинає вiсь $y$. Тут $x=0$. Отримуємо

  $$\begin{array}{llll}\hfill 0+3y& =300& \hfill & \\ \hfill 3y& =300& \hfill & \\ \hfill y& =100.& \hfill & \end{array}$$

  Це точка $A=\left(0,100\right)$, яка вiдповiдає виробництву $0$ сорочок i $100$ спiдниць.

• Точка $B$ — це точка, в якiй $x+3y=300$ перетинає $2x+y=200$. Так отримуємо систему рiвнянь, якi потрiбно розв’язати. Ранiше ми переписали нерiвностi (3) i (4), щоб перенести $y$ лiворуч. Якщо натомiсть розглянути їх як рiвняння, то отримаємо ту саму вiдповiдь, лише замiнимо $\le$ на знак рiвностi. А отже, отримуємо

  $$\begin{array}{llll}\hfill y& =200-2x& \hfill & \\ \hfill y& =100-\frac{1}{3}x.& \hfill & \end{array}$$

  Тепер можна задати вирази для $y$ рiвними один одному i отримати

  $$\begin{array}{llllll}\hfill 200-2x& =100-\frac{1}{3}x& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 200-100& =2x-\frac{1}{3}x& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 100& =2x-\frac{1}{3}x& \hfill & |\cdot 3& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 300& =6x-x& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 300& =5x& \hfill & |:5& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 60& =x.& \hfill & & \hfill & \end{array}$$

  Пiдставляємо це значення у $y=200-2x$, оскiльки це найпростiший вираз. Отримуємо

  $$y=200-2\cdot 60=200-120=80.$$

  Це дає нам точку $B=\left(60,80\right)$, яка вiдповiдає виробництву $60$ сорочок i $80$ спiдниць.

• Точка $C$ — це точка, в якiй $2x+y=200$ перетинає вiсь $x$. Тут $y=0$. Отримуємо

  $$\begin{array}{llll}\hfill 2x+0& =200& \hfill & \\ \hfill 2x& =200|:2& \hfill & \\ \hfill x& =100.& \hfill & \end{array}$$

  Це дає нам точку $C=\left(100,0\right)$, яка вiдповiдає виробництву $100$ сорочок i $0$ спiдниць.

• Точка $D=\left(0,0\right)$ вiдповiдає виробництву $0$ сорочок i $0$ спiдниць.

Рiзнi точки вище вiдповiдають рiзним комбiнацiям виробництва сорочок i спiдниць.

Пункт 7

Обчислюємо дохiд фабрики, пiдставивши значення $x$ i $y$, якi ми знайшли в попередньому пунктi, у функцiю доходу $Z(x,y)$, i з’ясовуємо, яка точка дає найбiльше значення.

Як вiдомо, чоловiча сорочка коштує $$295$, а спiдниця коштує $$450$. Пiдставляємо цi значення замiсть $A$ i $B$ у $Z(x,y)$ у формулi $(Z(x,y)=Ax+By)$; отримуємо

Тепер обчислюємо дохiд вiд рiзних варiантiв виробництва:

Дохiд $Z$ для точки $A=\left(0,100\right)$ становить

Дохiд $Z$ для точки $B=\left(60,80\right)$ становить

Дохiд $Z$ для точки $C=\left(100,0\right)$ становить

Дохiд $Z$ для точки $D=\left(0,0\right)$ становить

Це означає, що фабрика заробляє $$53700$, виробляючи $60$ чоловiчих сорочок i $80$ спiдниць. Це оптимальне виробництво, оскiльки iншi обсяги виробництва дали нижчi прибутки.