Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл

Iнтеграли переважно дiлять на двi категорiї: визначенi та невизначенi iнтеграли. Невизначений iнтеграл — це те саме, що й антипохiдна.

Складнiсть полягає в тому, що ми шукаємо вираз, не визначаючи вiльний член. Символ C, який ми додаємо до кiнця iнтеграла, якраз i позначає цю невiдому константу. Коли ми шукаємо константу, то залежимо вiд обмежень, наприклад мусимо використовувати C метод пiдстановки та розв’язання рiвнянь.

Теорiя

Невизначений iнтеграл

∫ f(x)dx = F(x) + C,F′(x) = f(x)

Тут f(x) має назву пiдiнтегральна функцiя, а C — константа iнтеграла.

Приклад 1

Обчисли iнтеграл ∫ ⁡ ln ⁡ x + ex + x3dx

∫ ln ⁡ x + ex + x3dx = x ln ⁡ x − x + ex + 1 4x4 + C

∫ ln ⁡ x + ex + x3dx = x ln ⁡ x − x + ex + 1 4x4 + C

Приклад 2

Обчисли iнтеграл

∫ 3 cos ⁡ (3x) − 4 sin ⁡ (2x)dx

∫ ⁡ 3 cos ⁡ (3x) − 4 sin ⁡ (2x)dx

= ∫ 3 cos ⁡ (3x) − 4 sin ⁡ (2x)dx = 3 ⋅1 3 sin ⁡ (3x) + 4 ⋅1 2 cos ⁡ (2x) + C = sin ⁡ (3x) + 2 cos ⁡ (2x) + C

∫ 3 cos ⁡ (3x) − 4 sin ⁡ (2x)dx = 3 ⋅1 3 sin ⁡ (3x) + 4 ⋅1 2 cos ⁡ (2x) + C = sin ⁡ (3x) + 2 cos ⁡ (2x) + C

Приклад 3

Обчисли iнтеграл

∫ sin ⁡ (2x) + 3 cos ⁡ (x) − e5xdx

∫ ⁡ sin ⁡ (2x) + 3 cos ⁡ (x) − e5xdx

= ∫ sin ⁡ (2x) + 3 cos ⁡ (x) − e5xdx = −1 2 cos ⁡ (2x) + 3 sin ⁡ (x) −1 5e5x + C

∫ sin ⁡ (2x) + 3 cos ⁡ (x) − e5xdx = −1 2 cos ⁡ (2x) + 3 sin ⁡ (x) −1 5e5x + C

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як інтерпретувати й обчислювати визначений інтеграл
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як використовувати формулу інтегрування частинами
Повернутися