Як знайти n-й член у послідовності?
Теорiя
Послiдовностi
Числа, записанi за порядком i роздiленi комами, називаються послiдовнiстю. Послiдовнiсть має такий вигляд:
Iндекси i так далi вказують, яким за порядком членом послiдовностi є елемент, тобто є -ним членом послiдовностi.
Приклад 1
— це третiй член послiдовностi.
Послiдовнiсть часто описується певним шаблоном. Цей шаблон допомагає знайти наступний член послiдовностi. Завдяки шаблону можна створити вираз, який спiввiдносить елемент i його мiсце в послiдовностi.
Щоб знайти це спiввiдношення, корисно створити таблицю, що складається з двох рядкiв. У верхньому рядку показано мiсце, яке займає елемент у послiдовностi, а в нижньому — сам елемент у цьому мiсцi. Потiм можна створити вираз для послiдовностi, щоб знайти члени, якi йдуть пiсля вже наявних членiв. Для цього можна скористатися складним або простим способом. Складний спосiб передбачає знаходження виразу шляхом перевiрки або за допомогою методу спроб i помилок. Простий спосiб передбачає застосування регресiї. Наприклад:
Приклад 2
Є числа 2, 4, 6, 8 i 10. Потрiбно знайти наступнi члени послiдовностi.
Як бачимо, — це перший член, — другий член, — третiй член i так далi. На основi цiєї iнформацiї складаємо таблицю:
| Iндекс, | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Член, | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Кожен наступний член послiдовностi збiльшується на . Перевiряємо це, вибравши довiльний член i вiднявши вiд нього попереднiй член:
Щоб переконатися, що послiдовнiсть правильна, виконуємо цей розрахунок для кожного її члена. Оскiльки для перших п’яти членiв рiзниця мiж двома членами, що йдуть за порядком, становить , то можна припустити, що так буде й далi. Як бачимо, значення дорiвнюють iндексу, помноженому на . А отже, вираз для знаходження -ного члена послiдовностi має такий вигляд:
