Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як розв'язувати кубічні рівняння та рівняння четвертого степеня

Ранiше ми навчилися розв’язувати лiнiйнi рiвняння (рiвняння, в яких найвищий степiнь дорiвнює 1) i квадратнi рiвняння (рiвняння, в яких найвищий степiнь дорiвнює 2). У цьому роздiлi ти з’ясуєш, як розв’язувати рiвняння зi степенями всiх можливих значень. Переважно ми розглядатимемо кубiчнi рiвняння та рiвняння четвертого степеня — спосiб розв’язання цих рiвнянь однаковий.

Теорiя

Типи кубiчних рiвнянь

1.
Рiвняння з x у кожному членi:
ax3 + bx2 + cx = 0.
2.
Рiвняння з вiльним членом:
ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Правило

Розв’язування кубiчних рiвнянь iз x у кожному членi

1.
Розклади x на множники за дужками: x (ax2 + bx + c) = 0.
2.
Розклади на множники квадратне рiвняння: (x − x1) (x − x2) = 0.
3.
Тепер можна розкласти на множники кубiчне рiвняння:
x (x − x1) (x − x2) = 0.
4.
Розв’яжи рiвняння, застосувавши правило нульового добутку (a ⋅ b = 0, якщо a = 0 або b = 0). Отримаєш x = a, x = x1 i x = x2.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння x3 + 2x2 + x = 0

1.
Дотримуючись способу, наведеного вище, розкладаємо x на множники за дужками: x3 + 2x2 + x = 0, x (x2 + 2x + 1) = 0.
2.
Тепер розкладаємо на множники квадратне рiвняння за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки. x2 + 2x + 1 = 0, (x − 1) (x − 1) = 0.
3.
Розкладаємо на множники кубiчне рiвняння: x (x − 1) (x − 1) = 0.
4.
Розв’язуємо рiвняння: x (x − 1) (x − 1) = 0 x = 0 i x = 1

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння x4 = 9x2

x4 = 9x2 x4 − 9x2 = 0 x2 (x2 − 9) = 0 x2 (x − 3) (x + 3) = 0 Тепер застосовуємо правило нульового добутку, щоб знайти розв’язки:
x2 (x − 3) (x + 3) = 0 x2 = 0 ⇒ x = 0 i x = 3 i x = −3

x2 (x − 3) (x + 3) = 0 x2 = 0 ⇒ x = 0 i x = 3 i x = −3

Правило

Розв’язування кубiчних рiвнянь iз вiльним членом

1.
Вгадуємо розв’язок i виконуємо дiлення многочленiв стовпчиком.
2.
Розкладаємо кубiчне рiвняння на множники: (x − a) (ax2 + bx + c) = 0.
3.
Розкладаємо квадратне рiвняння на множники: (x − x1) (x − x2).
4.
Тепер розкладаємо на множники кубiчне рiвняння:
(x − a) (x − x1) (x − x2) = 0.
5.
Розв’язуємо рiвняння, застосувавши правило нульового добутку (a ⋅ b = 0, якщо a = 0 або b = 0). Отримуємо x = 0, x = x1 i x = x2.

Приклад 3

Розв’яжи рiвняння x3 − 7x = −6

1.
Спершу переносимо всi члени по лiвий бiк рiвняння. x3 − 7x = −6 x3 − 7x + 6 = 0

Тепер вгадуємо розв’язок. Починаємо з x = 1:

(1) 3 − 7 (1) + 6 = 1 − 7 + 6 = 0.

Нам пощастило, i перший же вгаданий розв’язок виявився правильним (саме тому вгадувати розв’язки найчастiше починають з 1).

Тепер виконуємо дiлення многочлена стовпчиком для рiвняння з (x − 1). У виразi вiдсутнiй член x2, тому залишаємо вiльне мiсце там, де вiн мав би бути, або пiдставляємо 0 перед x2 в записi дiлення многочлена стовпчиком. Так буде простiше вiдстежувати члени.

Дiлення стовпчиком многочлена x̂3-7x+6, що дiлиться на x-1

2.
Розкладаємо рiвняння на множники:
(x − 1) (x2 + x − 6) .
3.
Тепер розкладаємо на множники квадратний вираз x2 + x − 6 за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки. Розв’язуємо рiвняння
x2 + x − 6 = 0

i отримуємо розв’язки x = 2 i x = −3. Пiдставляємо їх у формулу розкладання на множники a (x − x1) (x − x2), i розкладений на множники вираз отримує вигляд

(x − 2) (x + 3) .
4.
Тепер розкладаємо на множники кубiчне рiвняння, знайшовши добуток множникiв:
x3 − 7x + 6 = (x − 1) (x − 2) ⋅(x + 3)

x3 − 7x + 6 = (x − 1) (x − 2) (x + 3)

5.
Пiсля цього просто розв’язуємо рiвняння: (x − 1) (x − 2) (x + 3) = 0 x = 1 i x = 2 i x = −3

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке ділення многочленів?
Повернутися