Перша алгебраїчна тотожність квадратних виразів

В алгебрi видiляють три тотожностi, якi мають вирiшальне значення для розкладання на множники квадратних виразiв. Це перша алгебраїчна тотожнiсть, друга алгебраїчна тотожнiсть i третя алгебраїчна тотожнiсть квадратних виразiв. Погляньмо на першу алгебраїчну тотожнiсть квадратних виразiв.

За допомогою алгебраїчних тотожностей можна швидко множити доданки в дужках, розкладати на множники деякi типи виразiв, розв’язувати деякi типи рiвнянь i спрощувати деякi типи дробiв. У iнших статтях я докладнiше розглядаю всi цi сфери застосування, але зараз нас цiкавить перша алгебраїчна тотожнiсть квадратних виразiв.

Перша алгебраїчна тотожнiсть складається з виразу по лiвий бiк, знаку рiвностi та виразу по правий бiк. Це означає, що вираз по лiвий бiк можна перетворити на вираз по правий бiк i навпаки. Але спершу з’ясуймо, чому обидва боки рiвнi:

$$\begin{array}{llll}\hfill {(a+b)}^2& =(a+b)(a+b)& \hfill & \\ \hfill & =a^2+ab+ba+b^2& \hfill & \\ \hfill & =a^2+2ab+b^2& \hfill & \end{array}$$

У першому прикладi переписуємо вираз по лiвий бiк так, щоб перетворити його на вираз по правий бiк.

А що станеться, якщо зробити все навпаки — вираз по правий бiк формули перетворити на вираз по лiвий бiк? Потрiбно застосувати першу алгебраїчну тотожнiсть, щоб перетворити вираз на задачу на множення. Фактично можна застосувати першу алгебраїчну тотожнiсть, щоб розкладати квадратнi вирази на множники.