>Розподіли ймовірностей>Що таке трикутник Паскаля?

Що таке трикутник Паскаля?

Трикутник Паскаля — це чудовий iнструмент, особливо якщо потрiбно розрахувати вирази у формi ${(a + b)}^{n}$ . Є два способи представити трикутник Паскаля: через бiномiальнi коефiцiєнти або через пошук наступного ряду шляхом додавання сусiднiх чисел з рядка вище.

Теорiя

Спосiб 1

Трикутник Паскаля побудований з бiномiальних коефiцiєнтiв $(\binom{n}{k})$ , де $n$ — це ряд, а $k$ — число в ряду.

Важливо пам’ятати, що як ряди, так i числа в трикутнику Паскаля пронумерованi починаючи з 0. Щоб побудувати трикутник Паскаля, потрiбно пiдставити числа $n$ i $k$ у бiномiальнi коефiцiєнти. Трикутник має такий вигляд:

Ряди трикутника Паскаля вiд 0 до 4 з бiномiальними коефiцiєнтами

За допомогою цього способу зручно шукати точний коефiцiєнт.

Зверни увагу! Загалом маємо

\begin{array}{l} (\binom{n}{0}) & = 1 = (\binom{n}{n}) \\ (\binom{n}{1}) & = n = (\binom{n}{n - 1}) . \end{array}

Переконайся, що це правильно!

Приклад 1

Знайди числа у рядi № 3 трикутника Паскаля

Пошук у рядi № 3 означає, що $n = 3$ , а $k$ становить 0, 1, 2 i 3. Отже, у рядi № 3 маємо такi числа:

Ряд № 3 трикутника Паскаля

Якщо розрахувати значення бiномiальних коефiцiєнтiв, отримаємо такий трикутник:

Ряд № 0-4 трикутника Паскаля з числами

Зверни увагу! Кожен ряд трикутника Паскаля починається i закiнчується з 1.

Проте що робити, якщо неможливо знайти або застосувати бiномiальнi коефiцiєнти? Є простий спосiб, який можна застосовувати, якщо вже маєш верхнiй ряд, а саме:

Теорiя

Спосiб 2

Якщо додати два числа, розмiщених поряд у рядi, то отримаєш число, що стоїть мiж цими двома числами в рядi нижче.

Приклад 2

Запиши першi чотири ряди трикутника Паскаля, додавши записи в рядi

Перший ряд

мiстить один запис i є рядом № 0. Запис — 1.

Другий ряд

мiстить два записи i є рядом № 1. Обидва записи — 1, оскiльки всi ряди трикутника Паскаля починаються i закiнчуються з 1.

Третiй ряд

мiстить три записи i є рядом № 2. Тепер варто записати перших два ряди, оскiльки третiй ряд шукатимемо за допомогою способу 2. Як ти знаєш, першим i останнiм записами має бути 1, тож додати потрiбно лише записи посерединi.

Ряд № 0-2 трикутника Паскаля

Тут можна бачити, що середнiй запис у третьому рядi дорiвнює $1 + 1 = 2$ .

Четвертий ряд

мiстить чотири записи i є рядом № 3. Перший i останнiй записи мають бути 1, тож знайти потрiбно два записи посерединi ряду. Ось що виходить:

Тут бачимо, що

1 + 2 = 3

i що

2 + 1 = 3

; саме так отримуємо два середнiх записи четвертого ряду (ряд № 3).

До трикутника Паскаля завжди можна додати ряд за допомогою одного з описаних способiв, але якщо потрiбно додати дальнiй ряд унизу трикутника, то найпростiше це зробити за допомогою бiномiального коефiцiєнту $(\binom{n}{k})$ , де $n$ — це ряд, а $k$ — запис у рядi. Звiсно, можна використовувати й спосiб 2, але якщо додати потрiбно ряд № 30, це забере дуже багато часу.

Серед iншого, трикутник Паскаля використовується для знаходження кiлькостi комбiнацiй i для розрахункiв у формi ${(a + b)}^{n}$ (бiном Ньютона).

Приклад 3

На рисунку нижче показано частину трикутника Паскаля.

З того, що показано на рисунку, знайди значення $x$ i $y$ .

Як ти знаєш, сума двох сусiднiх чисел дорiвнює числу, що знаходиться мiж ними в рядi нижче. Згiдно з цим можна вивести два рiвняння з двома невiдомими:

\begin{align} 21 + x & = y, & (1) \\ y + 2 x & = 126 . & (2) \end{align}

Розв’яжи (1) для $x$ :

x = y - 21 .

(3)

Розв’яжи (2) для $y$ i пiдстав (3):

\begin{array}{l} y + 2 x & = 126 \\ y & = 126 - 2 x \\ = 126 - 2 (y - 21) \\ = 126 - 2 y + 42 \\ 3 y & = 168 & | : 3 \\ y & = 56 . \end{array}

Нарештi, знайди $x$ , пiдставивши замiсть $y$ в (3):

x = 56 - 21 = 35 .

Це означає, що числа, яких бракує в трикутнику Паскаля, — це 35 i 56.

Приклад 4

Тут бачимо, як застосовувати бiном Ньютона для розрахунку виразiв у формi ${(a + b)}^{n}$ для $n = 0, 1, 2, 3, 4$ :

\begin{array}{l} {(a + b)}^{0} & = 1 \\ {(a + b)}^{1} & = 1 \cdot a + 1 \cdot b \\ {(a + b)}^{2} & = 1 \cdot a^{2} + 2 \cdot a b + 1 \cdot b^{2} \\ {(a + b)}^{3} & = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3} \\ {(a + b)}^{4} & = 1 \cdot a^{4} + 4 \cdot a^{3} b + 6 \cdot a^{2} b^{2} \\ + 4 \cdot a b^{3} + 1 \cdot b^{4} \end{array}

\begin{array}{l} {(a + b)}^{0} & = 1 \\ {(a + b)}^{1} & = 1 \cdot a + 1 \cdot b \\ {(a + b)}^{2} & = 1 \cdot a^{2} + 2 \cdot a b + 1 \cdot b^{2} \\ {(a + b)}^{3} & = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3} \\ {(a + b)}^{4} & = 1 \cdot a^{4} + 4 \cdot a^{3} b + 6 \cdot a^{2} b^{2} + 4 \cdot a b^{3} + 1 \cdot b^{4} \end{array}

Як бачимо, коефiцiєнти тi самi, що й у перших чотирьох рядах трикутника Паскаля.

Приклад 5

Розрахуй ${(2 x + 1)}^{4}$

Знайти вiдповiдь можна, перемноживши всi вирази в дужках, проте нащо витрачати на це час, якщо можна просто скористатися трикутником Паскаля, як той, що ми показали у Приклад 4. Перше, на що потрiбно звернути увагу, — це показник, який дорiвнює 4. Це свiдчить, що в рядi № 4 трикутника Паскаля є потрiбнi нам коефiцiєнти (не забуваймо, що перший ряд — це ряд № 0). Отримуємо такi коефiцiєнти:

Ряд № 4 трикутника Паскаля, записаний у виглядi бiномiальних коефiцiєнтiв

Знайшовши бiномiальнi коефiцiєнти, отримуємо:

Ряд № 4 трикутника Паскаля, записаний у виглядi чисел

Далi записуємо операцiї множення двох одночленiв у ${(2 x + 1)}^{4}$ . Спосiб такий:

У дужках є два одночлени, $2 x$ i 1. Їх пiдносять до степеня за допомогою показника.
Показник першого одночлена, $2 x$ , має початися з показника виразу в дужках, що в цьому випадку становить 4, i почленно зменшитися до 0.
Показник другого одночлена, 1, має початися з 0 i почленно збiльшитися до показника виразу в дужках — 4.

Це має такий вигляд:

\begin{array}{l} {(2 x)}^{4} \cdot 1^{0} & = 16 x^{4} \\ {(2 x)}^{3} \cdot 1^{1} & = 8 x^{3} \\ {(2 x)}^{2} \cdot 1^{2} & = 4 x^{2} \\ {(2 x)}^{1} \cdot 1^{3} & = 2 x \\ {(2 x)}^{0} \cdot 1^{4} & = 1 \end{array}

Тепер можна пiдставити п’ять коефiцiєнтiв навпроти кожного з п’яти одночленiв. Отримаємо такий вираз:

\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{4} & = 1 \cdot 16 x^{4} + 4 \cdot 8 x^{3} + 6 \cdot 4 x^{2} \\ + 4 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \\ = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 \end{array}

\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{4} & = 1 \cdot 16 x^{4} + 4 \cdot 8 x^{3} + 6 \cdot 4 x^{2} + 4 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \\ = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 \end{array}

Коли засвоїте цей спосiб, зможете виконати остаточний розрахунок. Усе, що йому передує — мiркування, якi вiдбуваються подумки. Цей спосiб значно швидший, нiж просто по-старому розраховувати вирази в дужках, а отже, варто звикати до використання трикутника Паскаля!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Приклади біноміального розподілу

Наступна стаття

Що таке гіпергеометричний розподіл імовірностей?

Повернутися