>Швидкість зміни>Як апроксимувати миттєву швидкість зміни в математиці

Як апроксимувати миттєву швидкість зміни в математиці

Ми можемо апроксимувати миттєву швидкiсть змiни в точцi $P$ за допомогою середньої швидкостi змiни. Для цього виберемо двi точки, розташованi дуже близько одна вiд одної i поруч iз точкою $P$ , щоб кутовий коефiцiєнт прямої мiж ними був наближений до кутового коефiцiєнта дотичної в точцi $P$ .

Апроксимацiя виконується через складнiсть точного розташування дотичної. Часто вона надто полога або надто крута, через що можна отримати неправильнi значення. Якщо дотична занадто полога, отримуємо значення, нижче за вiдповiдь, а якщо дотична занадто крута, отримуємо зависоке значення для шуканої вiдповiдi. Iснує iнший спосiб обчислення миттєвого зростання, крiм застосування дотичної. Якщо використовувати формулу для середньої швидкостi змiни i вибрати

x_{2}

дуже близьким до точки, в якiй виявлено зростання,

x_{1}

, отримаємо наближене значення миттєвої швидкостi змiни. Нижче наведемо приклад.

Приклад 1

Погляньмо на $f (x) = 0.5 x^{2} - 0.5 x + 2$ . Потрiбно знайти миттєву швидкiсть змiни для $x = 4$ за допомогою апроксимацiї

Використовуємо формулу середньої швидкостi змiни:

\begin{array}{l} середня швидкiсть змiни & = \frac{змiна y}{змiна x} \\ = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}, \end{array}

де $x_{1} = 4$ . Тепер виберемо $x_{2} = 4.01$ (або iнше значення, наближене до $x_{1}$ ). Тодi потрiбно знайти $y_{1} = f (x_{1})$ i $y_{2} = f (x_{2})$ , якi становлять

\begin{array}{l} y_{1} & = f (4) \\ = 0.5 {(4)}^{2} - 0.5 (4) + 2 \\ = 8 \\ y_{2} & = f (4.01) \\ = 0.5 {(4.01)}^{2} - 0.5 (4.01) + 2 \\ = 8.035 05 \end{array}

Пiдставляємо значення у формулу i отримуємо:

\begin{array}{l} апроксимацiя & = \frac{змiна y}{змiна x} \\ = \frac{8 - 8.035 05}{4.01 - 4} \\ = 3.505 \end{array}

Точна миттєва швидкiсть змiни дорiвнює $3.5$ , тож апроксимацiя насправдi є непоганим способом. Вiн стане ще точнiшим, якщо вибрати $x_{2}$ , ще ближче до $x_{1}$ . Наприклад, якщо вибрати $x_{2} = 4.0001$ , отримаємо:

\begin{array}{l} y_{2} & = f (4.0001) \\ = 0.5 {(4.0001)}^{2} - 0.5 (4.0001) + 2 \\ = 8.000 350 005 \end{array}

Введемо значення у формулу i отримаємо:

\begin{array}{l} апроксимацiя & = \frac{змiна y}{змiна x} \\ = \frac{8 - 8.000 350 005}{4.0001 - 4} \\ = 3.500 05 \end{array}

Як бачимо, що ближчi значення $x$ одне до одного, то бiльш точною є апроксимацiя. Точне значення миттєвого зростання в точцi $x = 4$ становить $3.5$ , тож цей метод добре працює, якщо використовувати два значення $x$ , дуже близькi одне до одного.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як інтерпретувати та знаходити миттєву швидкість зміни в математиці

Повернутися