Відсотки за кілька періодів

У цiй статтi ми з’ясуємо, що вiдбувається, коли $n$ має значення бiльше за $1$ . Iнакше кажучи, iснує декiлька перiодiв часу, протягом яких нараховуються складнi вiдсотки.

Згодом це може призвести до значного збiльшення залишку, адже нарахування вiдсоткiв означає, що вiдсотки розраховуються на основi попереднiх вiдсоткiв.

Коли ми заощаджуємо кошти, складнi вiдсотки є досить привабливими, оскiльки забезпечують бiльше грошей. Але з кредитними картками та кредитами складнi вiдсотки означають, що ми сплачуємо вiдсотки за вiдсотками, якi вже були нарахованi!

Формула

Обчислення вiдсоткiв

K_{n} = K_{0} {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

де $K_{0}$ – це початковий залишок, а $p$ – вiдсоткова ставка. Через $n$ перiодiв (або кiлькiсть разiв, яку додаються вiдсотки) сума коштiв становитиме $K_{n}$ .

Приклад 1

Вiдсотки в часi
Ти береш у банку кредит на суму $$ 5000$ , щоб оплатити випускний вечiр. Банк вирiшує, що ти маєш оплатити $40 %$ рiчних. Ти просиш дозволу сплатити всю суму за п’ять рокiв. Яку суму ти матимеш повернути?

Початковий залишок $K_{0} = 5000$ . $K_{n}$ невiдоме, $p = 40$ , а $n = 5$ . Пiдставляємо цi цифри у формулу i розв’язуємо рiвняння:

\begin{array}{l} K_{n} & = 5000 {(1 + \frac{40}{100})}^{5} \\ = 5000 \cdot 1 . 4^{5} \\ = 26 891.2 \end{array}

Ти матимеш повернути банку $ $26 891.2$ через $5$ рокiв!

Приклад 2

Вiдсотки в часi

20 рокiв тому твоя тiтка поклала грошi в банк. Вiдсотки накопичувалися за ставкою $4.5 %$ рiчних. Сьогоднi сума на її рахунку становить $$ 25 000$ . Яку суму вона вклала спочатку?

У цьому прикладi початковий залишок $K_{0}$ є невiдомим. $K_{n} = 25 000$ , $p = 4.5$ , а $n = 20$ . Просто пiдставляємо вiдомi цифри у формулу i розв’язуємо рiвняння:

\begin{array}{l} K_{n} & = K_{0} {(1 + \frac{p}{100})}^{n} \\ 25 000 & = K_{0} {(1 + \frac{4, 5}{100})}^{20} \\ 25 000 & = K_{0} \cdot 1.04 5^{20} \\ \frac{25 000}{1.04 5^{20}} & = K_{0} \\ 10 366.07 & \approx K_{0} \end{array}

\begin{array}{l} K_{n} & = K_{0} {(1 + \frac{p}{100})}^{n} \\ 25 000 & = K_{0} {(1 + \frac{4, 5}{100})}^{20} \\ 25 000 & = K_{0} \cdot 1.04 5^{20} | : 1.04 5^{20} \\ 10 366.07 & \approx K_{0} \end{array}

20 рокiв тому твоя тiтка внесла на рахунок близько $

10 366

Приклад 3

Вiдсотки в часi
Твiй дiд завжди був крутим хлопцем. У своєму заповiтi вiн залишив тобi свiй класичний автомобiль. Твiй дiд придбав автомобiль 55 рокiв тому; тодi вiн коштував $$ 5000$ . Рiчне збiльшення вартостi автомобiля становить $5 %$ . Скiльки автомобiль коштує сьогоднi?

Знову-таки, почнiмо з того, що з’ясуємо, якi цифри можна пiдставити у формулу. У цьому випадку $K_{0} = 5000$ , $p = 5$ , $n = 55$ , а $K_{n}$ невiдоме. Пiдставляємо цi цифри у формулу i розв’язуємо рiвняння:

\begin{array}{l} K_{n} & = K_{0} {(1 + \frac{p}{100})}^{n} \\ = 5000 {(1 + \frac{5}{100})}^{55} \\ = 5000 {(1 + 0.05)}^{55} \\ = 5000 \cdot 1.0 5^{55} \\ \approx 73 178 \end{array}

Сьогоднi автомобiль коштує $ $73 178$ .

Приклад 4

Знайди вiдсоткову ставку
15 рокiв тому Оля придбала автомобiль за $$ 25 000$ . Поточна вартiсть автомобiля — $$ 2200$ . На який вiдсоток рiчних знизилася вартiсть Олiного автомобiля?

Знову-таки, для початку знаходимо числа, якi можна пiдставити у формулу. У цьому випадку ми знаємо, що $K_{0} = 25 000$ , $K_{n} = 2200$ , $n = 15$ , а $p$ є невiдомим. Пiдставляємо цi цифри у формулу i знаходимо вiдповiдь. Оскiльки $p$ є невiдомим у дужках, пiднесених до степеня 15, потрiбно знайти корiнь 15-го степеня, щоб розв’язати рiвняння:

\begin{array}{l} 25 000 & = 2200 {(1 - \frac{p}{100})}^{15} \\ \frac{25 000}{2200} & = {(1 - \frac{p}{100})}^{15} \\ 11.36 & = {(1 - \frac{p}{100})}^{15} \\ \sqrt[15]{0.088} & = \sqrt[15]{{(1 - \frac{p}{100})}^{15}} \\ 0.85 & = 1 - \frac{p}{100} \\ - 0.15 & = - \frac{p}{100} \\ p & = 15 \end{array}

\begin{array}{l} 25 000 & = 2200 {(1 - \frac{p}{100})}^{15} & | : 22 000 \\ 11.36 & = {(1 - \frac{p}{100})}^{15} \\ \sqrt[15]{0.088} & = \sqrt[15]{{(1 - \frac{p}{100})}^{15}} \\ 0.85 & = 1 - \frac{p}{100} \\ - 0.15 & = - \frac{p}{100} & | \cdot - 100 \\ p & = 15 \end{array}

Зниження вартостi автомобiля становило

15

% рiчних.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Відсотки за певний період часу

Наступна стаття

Як обчислювати складні відсотки за заощадженнями

Повернутися