>Економічний аналіз>Як ціна й попит впливають на виторг?

Як ціна й попит впливають на виторг?

Теорiя

Функцiя виторгу та цiни

Попит $x$ на продукцiю, зокрема, залежить вiд її цiни. Попит часто є функцiєю вiд цiни

x = d (p),

де $d (p)$ тяжiє до зниження, коли зростає $p$ . Цю кореляцiю також можна записати як

p = p (x),

де цiна $p$ є функцiєю вiд попиту $x$ .

Теорiя

Максимiзацiя виторгу через вплив на попит

Якщо в разi продажу

x

одиниць цiна

p (x)

є функцiєю вiд попиту

x

, виторг вiд цих продажiв має вигляд

I (x) = кiлькiсть \cdot цiна = x \cdot p (x) .

Попит, що максимiзує виторг – це попит, який дає найбiльший виторг.

Приклад 1

Пiдприємство визначило функцiю цiни як $p (x) = - 5 x + 50$ . Якою є функцiя виторгу пiдприємства?

Вiдомо, що виторг розраховується за формулою $I (x) = x \cdot p (x)$ . Якщо пiдставити в цю формулу вiдомi значення, функцiя виторгу матиме вигляд

\begin{array}{l} I (x) & = p (x) \cdot x = (- 5 x + 50) \cdot x \\ = - 5 x^{2} + 50 x . \end{array}

I (x) = p (x) \cdot x = (- 5 x + 50) \cdot x = - 5 x^{2} + 50 x .

Зверни увагу! У деяких задачах вимагається знайти рiвень попиту, який приносить компанiї найбiльший виторг. У цьому випадку потрiбно диференцiювати функцiю виторгу, задати її рiвною

0

i знайти

x

Приклад 2

Знайди попит, який забезпечує найбiльший виторг для пiдприємства (Приклад 1). Використовуй цей попит, щоб знайти найбiльший виторг, i знайди цiну продукцiї, коли виторг перебуває на найвищому рiвнi.

Коли у вправi йдеться про найбiльше або найменше значення, ми просто мусимо диференцiювати вираз! Отже, диференцiюємо функцiю виторгу

I (x) = - 5 x^{2} + 50 x

i задаємо рiвною нулю. Iнакше кажучи, найбiльше значення у вправi означає максимум.

Процес вiдбувається так:

\begin{array}{l} I^{'} (x) & = - 10 x + 50 = 0 \\ ⇓ \\ 10 x & = 50 \\ ⇓ \\ x & = 5 \end{array}

Це означає, що попит, який приносить найбiльший виторг, дорiвнює $x = 5$ . Щоб знайти найбiльший виторг, пiдставляємо це значення замiсть $x$ у функцiю виторгу

I (x) = - 5 x^{2} + 50 x .

Тодi найбiльший виторг пiдприємства

\begin{array}{l} I (5) & = - 5 {(5)}^{2} + 50 (5) = - 125 + 250 \\ = 125 . \end{array}

I (5) = - 5 {(5)}^{2} + 50 (5) = - 125 + 250 = 125 .

Щоб знайти цiну продукцiї за максимального виторгу, пiдставляємо те саме значення замiсть $x$ у функцiю цiни

p (x) = - 5 x + 50

(Приклад 1):

p (5) = - 5 (5) + 50 = - 25 + 50 = 25

Поточна цiна продукцiї становить $25$ .

Теорiя

Попит i цiна

Коли попит (кiлькiсть одиниць, якої потребує ринок) залежить вiд цiни, ми отримуємо вираз

d (p)

, що визначає попит як функцiю вiд цiни. Отримуємо значення

x

x = d (p) .

Якщо виторг залежить вiд попиту, можемо пiдставити $d (p)$ замiсть $x$ у функцiї виторгу $I (x) = x \cdot p (x)$ . Тодi функцiя виторгу матиме такий вигляд:

\begin{matrix} I (x) = I (d (p)) \\ = \\ d (p) \cdot p (x) = d (p) \cdot p, \end{matrix}

I (x) = I (d (p)) = d (p) \cdot p (x) = d (p) \cdot p,

адже

p (x) = p

(як ми з’ясували вище).

Приклад 3

Знайди попит як функцiю цiни на продукцiю iз функцiєю виторгу

I (x) = 600 x - 3 x^{2} .

Як ми вже знаємо, формула виторгу має вигляд $I (x) = p \cdot x$ . Це означає, що нам потрiбно перетворити вираз на вираз, помножений на $x$ . Для цього розкладаємо вираз на множники: