>Круглі дужки>Застосування алгебраїчних тотожностей

Застосування алгебраїчних тотожностей

Застосування алгебраїчних тотожностей у зворотному порядку

Дуже корисно знати, як виглядає вираз ${(a + b)}^{2}$ пiсля розкриття дужок, але часто ще кориснiше знати, яким чином переписати вираз $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Це означає, що однаково важливо знати що ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , та що $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ .

Приклад 1

Розклади на множники $x^{2} + 6 x + 9$ , застосувавши першу алгебраїчну тотожнiсть у зворотному порядку

Нам потрiбно отримати вираз виду ${(a + b)}^{2}$ , а, отже, треба знайти $a$ та $b$ . Вираз, який дано за умовою, має вид $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Оскiльки першим членом в обидвох виразах $a^{2}$ та $x^{2}$ , $a$ дорiвнює $x$ . Потiм можна знайти $b$ , пiдставивши $b^{2} = 9$ i перевiривши, якi значення для $b$ дають $2 a b = 6 x$ :

\begin{array}{l} \sqrt{9} & = \pm 3, \\ 3 \times 2 x & = 6 x, \\ - 3 \times 2 x & = - 6 x \end{array}

\sqrt{9} = \pm 3, 3 \times 2 x = 6 x, - 3 \times 2 x = - 6 x

Бачимо, що

b

має дорiвнювати 3, тому що

b = - 3

не вiдповiдає

2 a b = 6 x

. Отримаємо

\begin{array}{l} x^{2} + 6 x + 9 & = x^{2} + 2 \times 3 x + 3 \times 3 \\ = {(x + 3)}^{2} . \end{array}

Розгляньмо приклад, у якому нам потрiбно розкласти вираз на множники, винiсши за дужки спiльнi множники.

Приклад 2

Розклади на множники $2 x^{3} - 50 x$

Спочатку потрiбно винести за дужки спiльнi множники:

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 50 x \\ = 2 \times x \times x \times x - 2 \times 5 \times 5 \times x \\ = 2 x (x^{2} - 25) . \end{array}

\begin{array}{l} 2 x^{3} - 50 x & = 2 \times x \times x \times x - 2 \times 5 \times 5 \times x \\ = 2 x (x^{2} - 25) . \end{array}

(x^{2} - 25)

— це вираз виду

(a^{2} - b^{2})

, де

a = x

b = 5

. Це означає, що можна використати третю алгебраїчну тотожнiсть у зворотному порядку. Отримаємо

(x^{2} - 25) = (x + 5) (x - 5)

, що своєю чергою означає, що

2 x (x^{2} - 25) = 2 x (x + 5) (x - 5) .

Спрощення рацiональних виразiв

Якщо застосувати все, що ми дiзналися про розкладання на множники та алгебраїчнi тотожностi, тепер ми зможемо спростити дроби, якi виглядають так:

\frac{x^{2} + a x + a^{2}}{x^{2} + b x + b^{2}}

Спрощуючи дроби, надзвичайно важливо що всi члени повиннi мати спiльнi множники. Якщо дрiб мiстить член без множника, який мають усi iншi члени, не можна скоротити цей множник! Ось декiлька прикладiв:

Приклад 3

Спрости дрiб $\frac{3 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4}$

Цей дрiб має два члени в чисельнику й три члени в знаменнику. Два члени в чисельнику — це $3 x = 3 \times x$ та $- 6 = - 2 \times 3$ . Три члени в знаменнику — це $x^{2} = x \times x$ , $- 4 x = - 4 \times x$ та $4 = 2 \times 2$ . Немає множника, який би був спiльним для всiх цих членiв, тому ми не можемо нiчого скоротити, але якщо ми розкладемо чисельник i знаменник поокремо, то одержимо спiльнi множники:

\begin{array}{l} Чисельник & = 3 x - 6 \\ = 3 (x - 2) \\ Знаменник & = x^{2} - 4 x + 4 \\ = {(x - 2)}^{2} \\ = (x - 2) (x - 2) \end{array}

Ми розклали на множники чисельник i знаменник, i в нас залишилося по одному члену в кожному з них: $3 (x - 2)$ в чисельнику та ${(x - 2)}^{2}$ в знаменнику. Як бачимо, $(x - 2)$ є спiльним множником цих двох членiв. Це означає, що його можна скоротити:

\begin{array}{l} \frac{3 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4} & = \frac{3 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} \\ = \frac{3 (x-2)}{(x-2) (x - 2)} \\ = \frac{3}{x - 2} \end{array}

Зверни увагу! На цьому прикладi показано, що чисельник або знаменник не обов’язково має бути однiєю змiнною — вiн може бути виразом, таким як ${(x - 2)}^{2}$ . Знаки плюс i мiнус роздiляють члени.

Приклад 4

Спрости дрiб $\frac{x + 1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}}$

З чисельником нiчого не вдiєш, але якщо знаменник помножити на 4, то отримаємо

\begin{array}{l} 4 \times (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}) & = x^{2} + 2 x + 1 \\ = {(x + 1)}^{2} . \end{array}

Iз цим новим знаменником легше працювати. Оскiльки ми помножили знаменник на 4, нам потрiбно зробити те саме з чисельником. . Це означає, що чисельник стає $4 \times (x + 1)$ . Як бачимо, $(x + 1)$ — це спiльний множник для чисельника та знаменника, тому, скоротивши його, отримаємо

\frac{x + 1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{4 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{4}{x + 1} .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Третя алгебраїчна тотожність

Наступна стаття

Завдання 2