Vektorer i rommet

Romvektorer har svært mange ulike bruksområder, fra tegning og animasjoner i 3 dimensjoner til navigasjon av flyreisen fra Oslo til New York. Romvektorer gir deg en forståelse av hvordan den 3-dimensjonale verden fungerer, og et nytt og spennende forskningsområde er 3D-printing, som bruker romvektorer til å finne ut hvordan du vil printe for eksempel et menneskehjerte.

En vektor består av en lengde og en retning. En vektor i rommet har derfor tre koordinater som beskriver dens lengde og retning. Her er en utfyllende oversikt over formlene du lærte for vektorer i to dimensjoner, men for romvektorer.

En vektor i et 3-dimensjonalt koordinatsystem.

Formel

Addisjon og subtraksjon av tredimensjonale vektorer

\begin{array}{l} [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \pm [x_{2}, y_{2}, z_{2}] \\ = [x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2}] \end{array}

[x_{1}, y_{1}, z_{1}] \pm [x_{2}, y_{2}, z_{2}] = [x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2}]

Når du skal legge sammen vektorer eller trekke de fra hverandre, trenger du altså bare å gjøre dette separat for hvert par av koordinater i vektorene. Husk at dersom vi skriver vektorene som vektorer mellom bokstaver, blir $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Eksempel 1

Gitt to vektorer

\vec{a} = [14, 2, 5]

\vec{b} = [4, 4, 1]

, kan du regne ut summen:

\vec{a} + \vec{b} = [14 + 4, 2 + 4, 5 + 1] = [18, 6, 6] .

Eksempel 2

Du har to vektorer $\vec{u} = [2 t + 1, 4 t, 2]$ og $\vec{v} = [5 t + 4, t - 2, t]$ . Differansen mellom de blir

\begin{array}{l} \vec{u} - \vec{v} & = ((2 t + 1) - (5 t + 4), \\ ((4 t) - (t - 2)), (2) - (t)) \\ = [- 3 t - 3, 3 t + 2, 2 - t] . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{u} - \vec{v} & = [(2 t + 1) - (5 t + 4), ((4 t) - (t - 2)), (2) - (t)] \\ = [- 3 t - 3, 3 t + 2, 2 - t] . \end{array}

Pass på parentesene!

Formel

Multiplikasjon og faktorisering av tredimensjonale vektorer

k [x_{1}, y_{1}, z_{1}] = [k x_{1}, k y_{1}, k z_{1}]

Når du skal gange et tall med en vektor, skal du altså bare gange tallet inn i alle koordinatene hver for seg. For å faktorisere ut et tall må tilsvarende tallet være en fellesfaktor for alle koordinatene til vektoren.

Eksempel 3

Dersom $\vec{a} = [2, 5, 6]$ , er $4 \vec{a} = [8, 20, 24]$ .

Eksempel 4

Gitt en vektor

\vec{u} = [7, - 1, 2]

. Et uttrykk for en vektor som peker i samme retning kan du skrive som

\vec{v} = k \vec{u}

, som blir

\vec{v} = k [7, - 1, 2] = [7 k, - k, 2 k] .

Eksempel 5

La $\vec{a} = [9, 15, 21]$ og $\vec{b} = [3, 5, 7]$ . Da er $\vec{a}$ et multippel av $\vec{b}$ , for

\vec{a} = [9, 15, 21] = 3 \cdot [3, 5, 7] = 3 \vec{b} .

Teori

Posisjonsvektoren

Posisjonsvektoren er en vektor fra origo $(0, 0, 0)$ til punktet $P = (a, b, c)$ :

\vec{O P} = [a, b, c]

Eksempel 6

Dersom et punkt er gitt ved $P = (8, 4, 9)$ , er posisjonsvektoren $\vec{O P} = [8, 4, 9]$ .

Eksempel 7

Du står i punktet $P = (0, 5, 4)$ og går vektoren $\vec{P Q} = [2, 2, 8]$ til $Q$ . Hva er koordinatene til $Q$ ?

Her må du se at for å finne koordinatene til $Q$ kan du finne posisjonsvektoren $\vec{O Q}$ , og så gjøre om. For å komme frem til denne vektoren må du først gjøre om punktet $P$ til en posisjonsvektor. Det blir $\vec{O P} = [0, 4, 5]$ . Du kan da regne ut at

\begin{array}{l} \vec{O Q} & = \vec{O P} + \vec{P Q} \\ = [0, 5, 4] + [2, 2, 8] \\ = [2, 7, 12] . \end{array}

\vec{O Q} = \vec{O P} + \vec{P Q} = [0, 5, 4] + [2, 2, 8] = [2, 7, 12] .

Da blir punktet

Q = (2, 7, 12)

Teori

Normalvektor

En normalvektor til et objekt er en vektor som står normalt på objektet.

Eksempel 8

En vektor som står normalt på en linje er en normalvektor. Dette er den typen normal du kan konstruere med passer og linjal fra geometrien.

Teori

Parallelle vektorer

Parallelle vektorer er vektorer som enten har samme retning eller er motsatt rettet

\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k \vec{b}

For å sjekke om to vektorer er parallelle må du altså prøve å skrive den ene vektoren som et tall ganger den andre.

Eksempel 9

Er vektorene $\vec{a} = [3, 6, 9]$ og $\vec{b} = [1, 2, 3]$ parallelle?

For å finne ut av dette må du se om du klarer å faktorisere den ene vektoren til å bli et tall ganger den andre. Siden $\vec{a}$ har størst tall faktoriserer du den først. Du kan da se at

\vec{a} = [3 \cdot 1, 3 \cdot 2, 3 \cdot 3] = 3 \cdot [1, 2, 3] = 3 \vec{b},

som betyr at vektorene er parallelle med $k = 3$ .

Eksempel 10

Er vektorene $\begin{array}{l} \vec{a} = [2, - 5, 5] \\ \vec{b} = [- 8, 20, 20] \end{array}$
parallelle?

Som i Eksempel 9 må du se om du klarer å faktorisere den ene vektoren til et tall ganger den andre. Nå er det $\vec{b}$ som er størst, og du ser at

\vec{b} = [4 \cdot (- 2), 4 \cdot 5, 4 \cdot 5] = 4 \cdot [- 2, 5, 5] .

Nå er det ikke noe mer du kan trekke utenfor i noen av de to vektorene, men den ene er ikke et multippel av den andre. Altså er vektorene ikke parallelle.

NB! Du kan alltid trekke ut $- 1$ og bytte alle fortegnene, så det må du alltid prøve før du konkluderer med at vektorene ikke er parallelle.

Regel