>Tallmønster og tallfølger>Rekursive og eksplisitte formler

Rekursive og eksplisitte formler

Når du jobber med følger og rekker er det ofte snakk om rekursive og eksplisitte formler. Rekursiv betyr tilbakevendende eller gjentakende. Rekursive formler er dermed formler der du bruker tidligere ledd til å finne nye ledd, altså leddene vender tilbake. Eksplisitt betyr utfoldet eller tydelig. Eksplisitte formler er dermed formler som har et entydig uttrykk for et gitt ledd.

Teori

Rekursive formler

Rekursive formler uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av foregående ledd.

Den rekursive formelen blir bestemt av den følgen du har fått oppgitt.

Altså, hver følge har sin unike rekursive formel. Det som er litt kjipt med rekursive formler er at du oftest må finne dem ved inspeksjon av problemet. Dette gjør at det ikke finnes én bestemt fremgangsmåte. Allikevel, det finnes lyspunkter:

Regel

Slik finner du rekursive formler

1.

Dersom du skal lage formelen ut ifra en figur, se etter hvordan figuren endrer seg og bruk dette som et hjelpemiddel.

2.

Dersom du har en aritmetisk følge er den rekursive formelen gitt ved

a_{n + 1} = a_{n} + d .

3.

Dersom du har en geometrisk følge er den rekursive formelen gitt ved

a_{n + 1} = a_{n} \cdot k .

Eksempel 1

Den verdenskjente Fibonaccifølgen er gitt ved

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots

Dette er en rekursiv følge siden tidligere ledd bestemmer hva de senere leddene skal være. Du ser av formelen under at et gitt ledd blir bestemt av verdien til de to foregående leddene:

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}, der a_{1} = 1, a_{2} = 1 .

Her ser du at $a_{5} = a_{4} + a_{3} = 5 + 3 = 8$ , dette stemmer med følgen.

Eksempel 2

Trekanttallene

1, 3, 6, 10, 15, 21 \dots

utvikler seg ved at du legger til én ny diagonal rad på en eksisterende trekant (det er viktig at du har kontroll på disse figurtallene). Den rekursive formelen er:

a_{n + 1} = a_{n} + (n + 1), a_{1} = 1

Formelen fremkommer ved at du legger til en rad i den eksisterende trekanten, og denne raden har alltid $n + 1$ prikker. Her ser du at

\begin{array}{l} a_{2} & = a_{1} + (1 + 1) = 1 + 2 = 3, \\ a_{3} & = a_{2} + (2 + 1) = 3 + 3 = 6 . \end{array}

Teori

Eksplisitte formler

Eksplisitte formler er algebraiske formler for et gitt ledd i en følge, der det $n$ -te leddet i følgen regnes ut ved hjelp av plassnummer $n$ .

Altså, hver følge har sin eksplisitte formel. Det som er litt kjipt med eksplisitte formler er at du ofte må finne dem ved inspeksjon av problemet. Dette gjør at det ikke finnes én bestemt fremgangsmåte. Det finnes likevel lyspunkter:

Regel

Slik finner du eksplisitte formler

1.

Dersom du skal lage formelen ut fra en figur bør du prøve å dele opp figuren i mindre deler bestående av kjente geometriske figurer, som trekanter, firkanter og så videre.

2.

Dersom du har en aritmetisk følge er den eksplisitte formelen

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d .

3.

Dersom du har en geometrisk følge er den eksplisitte formelen

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} .

Eksempel 3

Følgen av oddetall er gitt ved

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 \dots

Du vet fra tidligere at alle tall som er delelig med 2 er et partall. Det vil si at formelen for partallene er $2 n$ , der $n$ er et heltall. Du vet også at annenhvert hele tall er et oddetall, og at disse ligger mellom to partall. Dermed kan oddetallene uttrykkes ved $2 n - 1$ . Den eksplisitte formelen for et bestemt ledd er dermed gitt ved:

a_{n} = 2 n - 1 .

Eksempel 4

Trekanttallene er gitt ved

1, 3, 6, 10, 15, 21 \dots

Den eksplisitte formelen fremkommer ved å bruke formelen for arealet av en trekant, $A = \frac{g \cdot h}{2}$ . Dersom du legger to av disse trekantene mot hverandre og danner en firkant, så vil lengden $g$ av firkanten være én prikk lengre enn høyden $h$ til firkanten:

Den explisitte formelen for n’te trekanttall vist geometrisk.

Generelt vil du derfor få at dersom høyden er $n$ , så vil lengden være $n + 1$ . Når du nå setter dette inn i formelen for arealet får du:

a_{n} = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{(n + 1) n}{2} .

Dette er den eksplisitte formelen for trekanttallene.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Kvadrattall, kubikktall, rektangeltall og trekanttall

Tilbake