Name: Hvordan regner du summen av en aritmetisk følge?
Uploaded: 2024-01-11T12:18:08.584Z
Channel: House of Math
Description: Summen av en aritmetisk følge kan finnes ved hjelp av en formel. Se videoen for å lære mer.

Summen av en aritmetisk følge kan finnes ved hjelp av en formel. Se videoen for å lære mer.

Hvordan beregner du summen av en endelig aritmetisk følge?
Gitt en endelig aritmetisk følge med lengde N, med elementene a1, a2, og så videre, opp til a n, er summen, S, funnet ved å legge sammen alle elementene i følgen, og kan beregnes med formelen:
S er lik N, delt på 2, ganger a1 pluss a n.
La oss først teste om denne formelen er riktig med noen korte aritmetiske følger.
Se på følgen 1, 4, 7, og 10.
Legger du sammen disse elementene får du 22.
Hva gir summeformelen?
Den sier at S skal være lik N, delt på 2, ganger a1 pluss a n.
Her er lengden på følgen, N, 4. Det første elementet, a1, er 1, og det siste elementet, a4, er 10.
Setter du disse verdiene inn i formelen, får du 4 delt på 2, ganger én pluss 10, som er 2 ganger 11, som gir 22.
22 er samme verdi som du fikk ved å legge sammen alle elementene, så formelen ser ut til å fungere!
Hva med følgen 10, 9, 8, 7, 6?
Dette er en avtagende aritmetisk følge.
Fungerer formelen her?
Legger du sammen leddene, får du 40.
Hva gir summeformelen?
Du trenger lengden, N, som er 5.
a1 er 10, og a5 er 6.
Formelen sier da at summen, S, er lik 5 del på 2, ganger 10 pluss 6, som også kan skrives som 2,5 ganger 16.
Dette gir 40, samme verdi som ved å legge sammen alle elementene.
Formelen ser ut til å fungere for avtagende følger også.
La oss se på et siste scenario.
Sitronboden din går veldig bra.
Du legger merke til et mønster.
Sitronene dine selges nå alltid i poser på 5, og hver kunde kan bare kjøpe én pose.
På den første dagen er det 2 kunder, så du selger 2 poser med sitroner.
På den andre dagen er det 4 kunder, på den tredje er det 6, og på den fjerde er det 8 kunder.
Skriver du ned antall kunder som besøker hver dag, merker du kanskje at det er en aritmetisk følge som starter på 2, med differanse 2.
Hvis denne trenden fortsetter, hvor mange sitroner har du totalt solgt etter 14 dager?
Vel, totalt antall solgte sitroner vil være totalt antall kunder etter 14 dager, ganger antall sitroner hver kunde kjøper, 5.
Men hva er totalt antall kunder?
Du kan finne dette ved å ta summen av den aritmetiske følgen.
Så du setter inn N, som er 14, a1, som er 2, og a14.
Ah, det er et lite problem.
Hva er verdien av a14?
Vel, dette kan finnes ved å bruke formelen for en aritmetisk følge.
a n er lik a1 pluss d, ganger n, minus én.
Setter du inn a1, som er 2 i dette tilfellet, og d, som er 2, finner du a n er lik 2 pluss 2, ganger n, minus 1.
For å finne a14 setter du inn "n" er lik 14.
Dette gir 2 pluss 2, ganger 14 minus én, som gir 28.
Med a14 utregnet, kan du gå tilbake til summeformelen din.
Den ble avsluttet ved S er lik 14 delt på 2, ganger 2 pluss a14. Setter du inn a14, som er 28, får du at summen er 7 ganger 30, som er 210.
Så totalt antall kunder etter dag 14, er 210.
Husk at du ville finne totalt antall solgte sitroner, som du fant ut var totalt antall kunder, nå kjent som 210, ganger antall sitroner hver kunde kjøper.
Dette gir 1050 sitroner etter 2 uker.
Det er mange sitroner!
Du har kanskje lagt merke til noe overraskende på dette punktet.
Differansen, d, vises ikke i formelen.
Hvis du vet at du har en aritmetisk følge, og du vet første og siste element, trenger du ikke differansen, d, for å finne summen!
Utrolig, ikke sant?
Men hvorfor er dette tilfelle?
"d" er skjult inne i leddet a n.
Husk å bruke formelen for en aritmetisk følge
a n er lik a1 pluss d, ganger n, minus én.
Setter du dette inn, finner du en alternativ måte å skrive sumformelen på.
S er lik N, delt på 2, ganger a1, pluss a1, pluss d ganger, N minus én.
Forenklet gir dette S er lik N, delt på 2, ganger 2 a1 pluss d ganger N, minus én.
Det fine med summeformelen på denne formen er at du ikke trenger å kjenne verdien av det siste elementet, a n.
Gitt en endelig aritmetisk følge med lengde N, med elementene a1, a2, og så videre, opp til a n, er summen, S, funnet ved å legge sammen alle elementene i følgen, og kan beregnes med formelen:
S er lik N, delt på 2, ganger a1 pluss a n.